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《弹性力学-第十一课时 弹性力学的变分原理.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理弹性力学 主讲邹祖军第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法§11-3应用最小势能原理求近似解的例子§11-4最小余能原理§11-5用最小余能原理求近似解第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理§11-1最小势能原理A、弹性体的形变势能与应力、形变、位移的关系。设弹性体只在某一个方向如x方向，受有均匀的正应力，同样，对于剪应力与剪应变，其比能为：相应的正应变，则其每单位体积中具有的形变势能即形变势能密度或比能为：弹性力学问题的变分法，也称能量法，是和弹性体的形变势能密切相关的。两个
2、假定：受力过程中，弹性体始终保持平衡，因而无动能的改变；弹性体的非机械能也没有变化。弹性力学问题的变分法，是有限元法等近似解法的理论基础。弹性力学问题的变分法的本质，是把弹性力学基本方程的定解问题，变为求泛函的极值（或驻值）问题。再变为函数的极值（或驻值）问题，最后归结为求解线性代数方程组。于是，外力势能的减少完全转化为形变势能。W=V第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理B、最小势能原理在V内(a)在Su上(b)虚位移在Su上(c)虚应变(d)外力在虚位移上做功第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理即(11.1)上式为虚位移方程或位移变分方
3、程,表示外力所做的虚功等于真实内力所做的虚功又与外力无关,且总势能(11.2)则有第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理(11.3)最小势能原理:在所有几何可能的位移中,真实位移且只有真实位移使总势能取最小值(e)其中(f)(g)取极小值的充要条件(h)由应变能的正定,(g)自然满足第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理(11.4)(11.4)成立的充要条件为在V内在ST上求解弹性力学问题化为在所有几何可能的位移中,寻找使总势能取驻值(极小值)的位移,即求解(11.3),对图11.1,根据平截面假定，任一截面的水平位移为由几何方程，有T第十一
4、章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理由梁的纵向纤维间无挤压，可以认为梁处于单向应力状态，则应变能密度为：梁的总应变能为：式中：总势能为：第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理取上式的变分为0(i)将上式代入(i),注意第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理(j)因变分的任意性位移表示的平衡方程和边界条件第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理C、等截面直杆的扭转长度L,用位移解法.位移分量不为零的应变分量应变能为(k)总势能为(11.5)令(11.5)变分为零,并利用格林公式得第十一章弹性力学的变分原理§11-1最小势能原理由娈
5、分的任意性得在A中在C上(l)§11.2应用最小势能原理求近似解的方法基于最小势能原理的两种近似解法：A、瑞利-李兹法（Rayleigh-Ritz)选择位移分量如下：(11.8)推导平衡微分方程和边界条件求解近似解答最小势能原理的主要作用:瑞利-李兹法（Rayleigh-Ritz)伽辽金法（Галёрқин)第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法(11.9)在边界Su上有：式中：均为坐标x，y，z的已知函数，为待定的任意常数。将位移代入变分方程，使得求泛函的极值问题转化为求函数的极值问题。总势能取极值的条件为：第十一章弹性力学的变分原
6、理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法(11.2)方程组，解出代入（11.8）就得到位移的近似解答。这种方法称为瑞利-李兹法。上式为一组以(m=1,2,3,…)为未知数的线性非齐次代数B、伽辽金法（Галёрқин)(a)如果选择的位移函数式（11.8）不仅满足位移边界条件，而且满足应力边界条件，则位移变分方程可简化为:则将上式代入(a),因变分的独立性.则有第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法位移仍然假设为(11.8)(b)(11.10)如式(11.8)不仅满足位移边界条件,而且也满足已知面力的边界条件,则(11.10)变为第
7、十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法方程组，解出代入（11.8）就得到位移的近似解答。这种方法称为伽辽金法。上式为一组以(m=1,2,3,…)为未知数的线性非齐次代数(11.10)(11.11)用位移表示则为(11.12)这种方法称为简化的伽辽金法。伽辽金法可求任意微分方程的近似解第十一章弹性力学的变分原理§11-2应用最小势能原理求近似解的方法(11.13)任意微分方程试函数(满足边界条件)伽辽金法为§11-3应用最小势能原理求近似解的例子例11-1两端简支的等截面梁，受均布荷载q作用（如图），试求挠度w(x)。解：先用瑞利-李兹法
8、求解，本问题的总势能为：
