结构力学之能量原理.ppt

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1、结构力学第12章能量原理主要内容1杆件的应变能及应变余能计算2结构势能定义及势能原理3结构余能定义及余能原理能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法。§12.1杆件的应变能及应变余能计算1应变能密度和应变余能密度应变能密度定义:单位体积内的应变能称为应变能密度1.1应变能密度例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)所示图(a)简单拉伸曲线FNdx应变能U为（12-1）dOBA图(b)应力应变曲线Cd根据应变能密度的定

2、义，则应变能密度为（12-2）即应力应变曲线中OAB所围的面积。dOBA图(b)应力应变曲线C1.2应变余能密度应变余能密度定义:单位体积内的应变余能称为应变余能密度。仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为（12-3）根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为即应力应变曲线中OAC所围的面积。（12-4）图(a)简单拉伸曲线FNdxdFN对于线弹性材料，=E.有，则（12-5）2杆件的应变能和应变余能象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，用u1表示。则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，

3、其杆件的应变能密度为即（12-6）对于线弹性材料，有FN=EA.，FQ=GA./k（k为截面形状系数），M=EI.。则（12-7）显然有（12-8）设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为v，截面的转角为。则几何方程为（12-9）将上式代入（12-7）式得（12-10）一根杆的应变能为（12-11）当忽略较小的剪切变形后,则（12-12）定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度，用u*1表示。当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变余能密度为（12-13）对于线弹性材料，用类似的方法，可以得（12-14）一根杆的应变余能为（12-15）上式中，U

4、为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅考虑弯曲应变能，则§12.2势能原理1势能的定义杆件结构的势能Ep定义为（12-16）（12-17）上式中e为结构中杆件的排序号。E*p为结构的荷载势能，通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则（12-18）上式中p为荷载的序号，为Fp方向上的位移。2势能驻值原理势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的位移应使结构势能为驻值。这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件，而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条件是等价的。可以证明，在小变形、线弹性的稳定平

5、衡问题中，满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极小值。这就是最小势能原理。3势能驻值原理应用3.1利用势能驻值原理推导位移法典型方程设：位移法的基本未知量向量为{Z}={Z1Z2……Zn}T在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为上式中，为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方程。与广义荷载Fp相应的广义位移也可表示为上式中，为基本结构由于Zi=1时引起的与广义荷载相应的广义位移。△p为基本结构在荷载作用下引起的与广义荷载相应的广义位移。则结

6、构的势能为根据势能驻值条件得即或因为，为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩），为Zj=1时的基本结构变形（曲率）。则为基本结构Zi=1时的内力（弯矩）在Zj=1时的变形（曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、r2i……rni）在Zj=1时的位移上所做的外力虚功为Wij=rij1=rij。根据虚功方程Uij=Wij得或又因为为单独在荷载作用下的基本结构的变形（曲率）。代表了当Zi=1时基本结构的内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率）上所做的内力虚功。而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、r2i……rni）在单独在荷载作

7、用下基本结构的变形上所做的外力虚功为0。所以根据虚功方程得当Zi=1时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下的变形上所做得的虚功为0，而在基本结构单独在荷载作用下的外力在Zi=1时的基本结构的变形上所做的虚功为或根据功的互等定理有即由上述讨论可得这就是杆系结构的位移法典型方程。多提意见与建议谢谢！作业：建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法，但在精确解难以求得或不能求得的许多工程实际问题中，能量原理又能为我们提供一种求近似解的有效途径。瑞利—里兹法就是其中之一。在介绍瑞利—里兹法之前，先介绍两个基本概念：3.2瑞利—里兹法(Rayleigh-Ritz