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1、§3.4向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩二、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、向量组秩的一些结论一、向量组的最大无关组与秩定义3.5设向量组A(含有有限个或者无穷多个向量),若在A中存在r个向量1,2,,r,满足：(1)向量组A0:1,2,,r线性无关,(2)向量组A中任意r+1个向量(若存在r+1个向量的话)都线性相关,则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组).定义3.6向量组A的最大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作RA.向量组1,2,,m的秩也记作R(1,2,,m).几点说明:1.只含零向
2、量的向量组没有最大无关组.规定它的秩为0.2.含有m个非零向量的向量组的秩R满足1Rm.3.向量组{1,,m}线性无关R(1,,m)=m.4.向量组{1,,m}线性相关R(1,,m)3、5)T,3=(3,4,5,8)T,4=(4,5,6,7)T,求1,2,3,4的秩及一个最大无关组．解A=(1,2,3,4)∴rank(1,2,3,4)=rankA=3,且1,2,3为向量组的一个最大无关组.说明:向量组的最大无关组一般不是唯一的.例2设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组,并把不属最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示.解记A=(1,2,3,4)∴1,2,3为列向量组的一个最大无关组,如何把4用1,2,3线性表示?只需将A再化为行最简形矩阵.三、向量组秩的一些结论§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的
4、秩.定理3.14向量组1,2,,s能由向量组1,2,,m线性表示的充分必要条件是R(1,2,,m)=R(1,2,,m,1,2,,s).最大无关组的一个等价定义:定理3.15设向量组A0:1,2,,r是向量组A的一个部分组,且满足:(1)向量组A0线性无关,(2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示,则向量组A0是向量组A的一个最大无关组.证明设1,2,,r+1是组A中任意r+1个向量,由(2)可知这r+1个向量能由向量组A0线性表示,从而有:R(1,2,,r+1)R(1,2,
5、,r)=r所以r+1个向量1,2,,r+1线性相关,故向量组A0是向量组A的一个最大无关组.定理3.16向量组A和它的最大无关组A0是等价的.证明因为向量组A0是组A的一个部分组,故A0组总能由A组线性表示,由最大无关组定义可知:对于A中任一向量,r+1个向量,1,2,,r线性相关,而1,2,,r线性无关,可知能由1,2,,r线性表示,即A组能由A0组线性表示,所以A组和A0组等价.定理3.15设向量组A0:1,2,,r是向量组A的一个部分组,且满足:(1)向量组A0线性无关,(2)向量组A的任一向量都能由向量组
6、A0线性表示,则向量组A0是向量组A的一个最大无关组.定理3.16向量组A和它的最大无关组A0是等价的.说明定理3.15和定理3.16中的向量组A所含有的向量个数可以是有限个也可以是无穷多个.在§3.２中,我们在限制向量组只含有限个向量的条件下得到定理3.5,3.6,3.7．现在我们就可以利用向量组的最大无关组作过渡去掉这个限制,可将定理3.5,3.6,3.7推广到一般情形．现推广定理3.7,得：定理3.17若向量组B能由向量组A线性表示,则RBRA.推论若向量组B与向量组A等价,则RA=RB.例3若向量组B能由向量组A线性表示,且RA=RB,证明向量组A与向量组B等价.
