初等几何研究 第十四章几何题的证明.pdf

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1、初等几何研究习题解《中学数学教材教法》，主编赵振武副主编章士藻第三分册《初等几何研究》习题解答第十四章几何题的证明习题十四1.圆内三弦AB、CD、EF两两相交于P、Q、R，且PC=QE=RA,PB=QD=RF,求证：△PQR是正三角形.证明：如图圆中三弦AB、CD、EF两两相交于P、Q、R，并且PC=QE=RA，PB=QD=RF.根据相交弦定理有：AR×BR=RF×RE即AR×(RP+BP)=RF×(RQ+QE)FA整理得AR×RP=RF×RQR同理可得EQ×QR=DQ×PQBP×RP=CP×PQCDPQ所以有RP:RQ=RF:ARBERQ:PQ=DQ:EQ第1题图

2、PQ:RP=BP:CP根据已知AR=CP=EQ,BP=DQ=FR所以有RPRQPQRPRQPQ1RQPQRPRQPQRP所以RP=PQ=RQ所以△RPQ为正三角形.2.在梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,以AB为直径的圆切CD于E,过E作EF∥BC交AB于F,求证：AC平分EF.证明：设AC交EF于M，由于EF⊥AB，∴AD∥EF∥BC∴EMDAAFMFDCECDABBCEC又DE=DACE=BCM又∵DEAFEMDEMFMFDCABCEDCCBCEAFB∴EM=MF即AC平分EF.第2题图3.过AB为直径的半圆上任意一点C，作CD⊥A

3、B于D，⊙H与CD、弧BC分别相切于E、F，又与AB相切于G，求证：AC=AG.证明：∵A、E、F三点共线（△HEF∽△AOF）连接BF,∴B、F、E、D四点共圆C2∴AG=AE·AFF而AE·AF=AD·ABEH2AD·AB=ACABODG22∴AG=AC即AG=AC第3题图4.在正方形ABCD中，F为CD的中点，过D作DE⊥AF于G，且交AC于E，，求证：∠EFC=∠AFD.DFC证明：连接BE并延长DE交BC于GH,∵DG⊥AF∴CH=DFEH∴DF=FC=CH=HB∴△FCE≌△HCEAB第4题图∴EF=FH∴△DEF≌△BEH∴∠BEH=∠DEFF、E、B

4、三点共线，∴∠EFC=∠AFD5.在正方形ABCD中，作DE∥AC,在DE上取一点F，使AF=AC，又作CE∥AF交DE于E，连接AE，求证：∠DAF=∠FAE=∠EAC.证明：∵DE∥ACECE∥AFCBAC=AF∴ACEF为菱形F∴∠FAE=∠EAC=∠FEADA在△ADF中第5题图AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135°AF=2AD=11∴3∠DFA=30°DF(62)cosDFA22∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°∴∠DAE－∠FAE=EAC=15°6.已知AC⊥AB,BD⊥AB,AD与BC交于E，过E

5、作EF⊥AB于F，求证∠AFC=∠BFD.DB证明：∵BD∥EF∥CABEBFEFECAFBDBEACECCA第6题图BFBDAFAC∠FBD=∠FAC=90°∴△FBD∽△FAC∴∠AFC=∠BFD7.在锐角△ABC中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，取BC中点F，求证：∠FED=∠EDF=∠A.证明：∵BD⊥ACCE⊥ABA∴F是Rt△BEC和E123DRt△BDC斜边的中点,∴EF=FD∴∠FED=∠FDEBFC∴B、E、D、C共圆第7题图∴∠B=∠3∠1+∠3+∠FED=180°∴∠FED=∠A8.在正六边形外接圆上任取一点，求证该点至各顶点的连

6、线中，两长者之和必等于其余四者之和.证明：设∠GAF=α,∠GFA=βED长：GC+GD=2Rcosα+2Rcosβ短：GA+GB+GE+GFFC=2Rsinβ+2Rcos(60°－β)+G2Rcos(60°－α)+2RsinαAB=2R(cosα+cosβ)(α+β=30°)第8题图∴GC+GD=GA+GB+GE+GF9.在△ABC中，AB=AC，AG⊥BC，CD平分∠ACB，DE⊥BC，在CB延长线上取一点F，使∠CDF=90°，求证:CF=4EG.证明：∵CD平分∠ACB.CD⊥FF＇AF∴DF=DF＇,CF=CF＇过D作DH∥BC交AC于H.DHS∴H为CF

7、的中点,∵∠DF＇C=∠CFDF＇BEGC而∠FDH=∠DF＇C第9题图∴∠FDH=∠CFD∴DH=FH=½CF.AG垂直平分DH于S∴DS=EG∴CF=4EG10.在△ABC中，已知AB=AC,AD⊥BC,以AD为直径作⊙O，由B、C分别作该圆的切线BE、CF（不同于BC），E、F为切点，求证EF在△ABC内部一段长等于它在外部两段长之和.证明：延长AE交CB于M,A连DE，则DE⊥AMBE=BDEGRF∴∠BED=∠BDEH∴∠BME+∠BDEM=∠BEM+∠BEDBDCN=90°第10题图∴∠BME=∠BEM.∴BM=BE∴BM=BD即B为DM的中点，∵E