史济怀,刘太顺.__复变函数.__习题解答.pdf

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1、第一章复数与复变函数§1.1习题nn2．设zz12,,...,zn是任意n个复数，证明：

2、zzkk

3、

4、

5、，并给出不等式中等号成立kk11的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是zz,,...,z线性相关）.12n13．证明：(RezIm)zzRezIm.z222证明：设zaib，则Reza，Imzb，

6、

7、zab.由题2知，zabiab2222aba2abbaba2b2a2b222故()ab

8、

9、z，222221即有(RezIm)zzRezIm.z224．若zz

10、

11、,0

12、，证明：zz

13、

14、zz.121212222证明：不妨设zz0.zz21212222则zzzzzzzzzzzz2121221211122即有zz

15、

16、zz成立.1212za5．设

17、a

18、1，证明：若

19、z

20、=1，则1.1az证明：由z1得zz1故zazazzz11azaz即证之.za6．设

21、a

22、1，

23、z

24、1.证明：1.1azza2222证明：提示：（1

25、

26、z2Reaz

27、

28、a12Reaz

29、

30、

31、

32、;az1az222222而1

33、

34、a

35、

36、z

37、

38、

39、

40、az(1

41、

42、)(1

43、

44、

45、)0;az）7．设zz12,,...,zn，12,,...,n是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange等式：222nnn2zjj(zj)(j)zjkjzk,并由此推出Cauchy不等式：j1j1j11jkn222nnnzzjjjj.j1j1j1z11z12z...znz12z...znz22'证明：提示（记A，detdet(AA)0，............12n12nznn

46、zzjkzjj22detdetzzj

47、kkj，则原式

48、=zzjkkj0.(1)jkzkk1jknznn211zzjjjz12z...znz22jj11另外，detdet.........nn212nznnj11zjjjj222nnn(zzjj)(jj)0.（2）j1j1j1由（1）=（2）可得证.§1.2习题1．把复数zi1cossin写成三角形式.111111i

49、iiiii解：z1eie2(e2e2)e22Ree2(2cos)e2.2nn2．问取何值时有(1ii)(1).1i4k解：提示（ii,1,kN）1i11nsinsin(n)ncoscos(n)22223．证明：cosk,sink,k02sink02sin22n1nin(1)sininnnik1e22ik证明：由于eei，则即可得coskeRe，k01esinkk002nniksinkime.kk00z1114．证明：

50、zzz和同向相似的充分必要条件为z1=0.12312322z133证明：提示（zzz和zzz同向相似abC,，使得azbk(1,2,3)123123kkw1z111w1z1zw111wazb1w,z,1线性相关detzw10.）222222wz11wzzw13333335．设zz，证明：z位于以z和z为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)，使得1212zz(1)z；12证明：z位

51、于以z和z为端点的开线段上12zz21k0,zzkzz()kz0,2111kkk(0,1),zz(1),(z).121k6．图1.5是三个边长为1的正方形，证明：AODBODCOD.2EABCOD解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设OAzOB,,zOCz123则z1iz,2iz,3i，123从而arg(zzz)arg(1i)(2i)(3i)arg(10)i.123因为i是单位向量，它的辐角为，即AODBODCOD.222222

52、10．证明：zzzz2(z

53、z

54、),并说明等式的几何意义