计算材料学-弹性常数.pdf

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1、计算材料学Part7第一性原理计算弹性常数主讲：鲁勇北京化工大学应力与应变间的关系一、单向应力状态下应力与应变的关系11Eσ1σ1E为材料的弹性模量，单位为N/m2.横向线应变?2，?3与纵向线应变?1成正比，比值为泊松比?，而符号相反。2,13123二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系τγτγG为剪切弹性模量，单位为N/m2.G弹性常数描述了晶体对外加应变?的响应的刚度。在应变很小的情况下，体系的内能与应变的大小存在二次线性关系（胡克定律），弹性常数???就是描述这种二次线性关系，即二次线性项的系数。晶体呈线弹性形变时，其应变能

2、的变化形式为：??=???????其中???为应力张量，???为应变张量，上式也可以用更一般的形式表达：?2??????=????????由应变造成晶体内能的改变可以由E(V)对应变张量的泰勒展开（Taylor’sexpansion）表示E(V)=E(V,0)+VΣσδ+V0ΣCδδ+...00i,jijij2!i,j,k,lijklijkl式中，V是应变前元胞的体积，E(V,0)是对应基态时的能量。00如果我们使用Voigt符号来重新标定（11=1，22=2，33=3，23=4，31=5，12=6），并使得E(V)=M+Mδ+Mδ2+...01i2i从上式可知

3、，如果用一个二次多项式来拟合应变能和对应应变，其二次项的系数便是对应的弹性常数。66?∆?=෍෍???????2?=1?=1应变后基矢?′与应变前的基矢?之间的关系为：?′=?∙(?+?)因此，选取特定的应变?=?=?1,?2,?3,?4,?5,?6，计算出在一组不同幅度时应变前后体系总能的变化∆?=??,?−?(?,0)，再根据总能的变化-应变幅度对应的一组数据点，进行二次函数拟合得到二次项系数。即可得到晶体的某个弹性常数或弹性常数的组合。对不同的晶系的晶体，因为对称性的关系，其独立的弹性常数是确定的。六角晶系对六角晶系的晶体，其元胞基矢可取为共有5个独立的刚

4、度矩阵元首先，我们施加两个正应变δ=δ和δ=δ（还原Voigt符号后为δ，δ），121122?=?,?,0,0,0,0，如图所示：体系能量：E(V)=E(V,0)+V[(τ+τ)δ+(C+C)δ2]00121112∆?~(?+?)?21112?0以类似的方法，我们分别对未变形的晶格施加不同的应变，得到应变能和应变之间的关系∆?~(?−?)?2?=?,−?,0,0,0,01112?0∆??=0,0,0,?,0,0~2??244?0∆?1?=0,0,?,0,0,0~??233?02∆?1?=?,?,?,0,0,0~(?+?+2?+?)?211121333?02???

5、??−????(0)对一系列幅度δ的特定应变进行能量计算，得到一组~δ?0数据，然后对它进行二次函数拟合，得到二次项系数如下图所示二次项系数VASP计算中，E和V的单位分别为eV和Å3，1eV/Å3=160.2GPa