《棱锥体积推导》PPT课件.ppt

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1、棱锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。2、V柱体＝Sh3、柱体体积公式的推导柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝Shα问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个锥体放在同

2、一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1S根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。=+=先割后补先补后割与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B1与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCA’B’CA’C1B1ABCA1ABCA

3、1C1B1把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。猜测三棱锥的体积公式:ABCA1C1B1连接B1C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。１23猜测三棱锥的体积公式:就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。BCA1B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CAC1B1ABCA1BCA’B’CA’C1B1ABCA1１23猜测三棱锥的体积公式:BCA1B12CA1C1B13ABCA11三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。CA1C1

4、B13ABCA11BCA1B12BCA’B’2ABCA11BCA1B’2ABCA11三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA1B12BCB’2ABC1BCA1B12ABC1高ABCA11CA1C1B13BCA1B12三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。ABCA11CA1C1B13BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCAB12三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等。高也相等（顶点都是A1）。高V1＝V2＝V3＝V三棱柱猜测:如果三棱锥的底面

5、积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝V三棱柱=ShABCA11CA1C1B13BCA1B12定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝Sh定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥＝Sh证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等，高也相等（顶点都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱锥。∵V三棱柱＝Sh。∴V三棱锥＝Sh

6、。ABCA1C1B1１23猜测:n棱锥的体积公式：Vn棱锥=Vn棱柱任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体的底面积是S,高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh例1.如图是一石柱,石柱顶上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱.已知正四棱柱底面边长0.5米,高1米,正四棱锥的高是0.3米.石料比重d为每一立方米2400千克.求这个石柱的重量.解:V棱锥=V棱柱=所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克

7、).0.5米1米0.3米例2.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10，三个侧面与底面所成的二面角均为60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.BACVEOFD(2)求三棱锥的高.(3)求三棱锥的体积.(1)求证：O是△ABC的内心.OD为VD在平面ABC内的射影,根据三垂线定理,得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角.∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）连结CO并延长交AB于