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1、§5.8单纯形法目录一、单纯形法基本原理二、单纯形法迭代步骤三、单纯形法有关说明四、习题单纯形法是利用比较简单几何图形各顶点的目标函数值,在连续改变几何图形的过程中,逐步以目标函数值较小的顶点取代目标函数值最大的顶点,而求优点的方法,属于直接法。一、单纯形法基本原理现以求二元函数的极小点为例,说明单纯形法形成原理。设二元函数f(X)=f(x1,x2)在x1x2平面上取不共线的三个点X1,X2,X3，以此为顶点构一单纯形——三角形.算出各顶点的函数值f(X1),f(X2),f(X3),比较其大小,现设有f(X1)>f(X2)>f(X3)。这说明X1最差,X3最好,X2次差.为
2、了寻找极小点,一般来说应向最差点的反对称方向进行搜索.以X4记为X2X3的中点在X1X4的延长线上取点X5,使称为X5为X1关于X4的反射点.如图5.15。图5.15算出X5的函数值f(X5),可能有下列情形:⑴f(X5)f(X5),则扩张不利,舍去X6,以X5代替X1构新单纯形{X2,X3,X5}.几种情形的讨论(4)若方向上所有点的函数值都大于,则不能沿此方向搜索.这时,可以以
3、为中心进行缩边,若使顶点和向移近一半距离(如图5.16所示),得新单纯形.以此单纯形为基础再进行寻优.这时取⑵f(X3)f(X1).这时应更多压缩,将新点压缩至X1X4之间,有注意,上两式只是X1和X5的差别.如f(X8)4、X1X4方向上所有点的函数值f(X)都大于f(X1)不能沿此方向搜索．这时,可以以X3为中心进行缩边,使顶点X1和X2向X3移近一半距离如右图所示,以此单纯形为基础再进行寻优.得新单纯形{X3,X9,X10}.可见,不管如何,都可得到一新的单纯形,其中至少有一顶点的函数值比原单纯形为小.如此继续,直至满足终止准则.在n维情况下,一个单纯形含有n+1个顶点,计算工作量较大,但原理和上述二维情况相同.二、单纯形法迭代步骤已知设X为n维变量,目标函数为f(X),终止限为⑴构造初始单纯形在n维空间中选初始点X0(离最优点越近越好),从X0出发,沿各坐标方向以步长t移动得n个顶点,这
5、样选择顶点可保证向量组线性无关,否则,就会使搜索范围局限在较低维的空间内,可能找不到极小点.当然,在各坐标方向可以走不同的距离.步长t的范围可取0.5~15.0,开始时常取t=1.5~2.0,接近最优点时要减小,例如取0.5~1.0.⑵计算各顶点的函数值比较各函数值的大小,确定最好点XL、最差点XH及次差点XG,即⑶计算XH之外各点的“重心”求出反射点⑷扩张当f(Xn+2)6、替XH构成新单纯形.转(8).⑹收缩.当f(XG)≤f(Xn+2)7、1=(10,11)T和X2=(8,11)T.这三点不共线,它们作为初始单纯形的顶点(如图所示).然后计算各顶点的函数值:，可知X1为最差点,X0为最好点.以X3表示X0和X2的重心,则例5.6(P118)续解例5.6反射点由于f(X4)
