让抛物线焦点弦的倾斜角从幕后走向台前.pdf

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1、2013年第3期中学数学月刊·33·让抛物线焦点弦的倾斜角从幕后走向台前姚建明(江苏省南京市大厂高级中学210044)纵观近几年全国各地的高考数学试题，对抛结论：物线几何性质的考查几乎年年都有，而且有相当结论1如图1，梯Y多的省、市对抛物线的考查以难题形式出现，仔细形ABBA与焦点弦的／CA／分析这些考题后发现，焦点弦是常考常新的一类倾斜角相关，且l重要题型．表1是近5年来全国各地对抛物线焦(1)AB一，，sin口0j点弦的考查情况统计表．f表1AB一—；s1n年份考查内容：抛物线的焦点弦(2)梯形ABBA2012正天津理l2

2、重庆理14安徽文14，理9福建文2l北京理12的一面积～为．S一20；图一12011年江西文19山东文9(3)若m—fAFf，一fBFf，则fcosaf一2010芷湖南理14重庆理14重庆文13山东文92009年福建理13湖北文20全国I文12全国I理11{I一1lm．一2~／’户．一2m’2008正江西理l5全国II理15广东文2O广东理18证明(1)因为直线AB过焦点F(号，0)，从从表1可以看出，高考对抛物线焦点弦的考而设直线AB的方程为—z一要(其中一查每年都会出现，并且文理科都有涉及，题目难度也大多偏难，因此熟练掌握

3、抛物线焦点弦的性质)，即z===+，代人抛物线yZ一2px，得S1n么将有助于高考．Y一2pray—P一0，所以，Y1+Y2—2pm，Y1Y2许多学生和教师都有过这样的体验：遇到抛一一P。．同时，由于z1+2一(1+Y2)+P，所物线焦点弦问题时，通常采用的求解思路是先设以Iz+一2pm+P，由抛物线几何性质得出该焦点弦所在的直线方程，然后与抛物线方程AB—zl+z2+P=2pm+2p=2p(m。+1)联立，消元化简，通过解方程的办法求解．此种解法思路简单易懂，但由于计算量较大，要快速准确()+]一．同时'A1一地解出结果，实

4、为不易．但如果我们能注意到焦点zl一一．弦的倾斜角这个常常被我们在解题中忽略的几何说明由性质(1)可知，当倾斜角a=90。时，元素，充分挖掘其在抛物线中的性质，推导出与之AB一2p最小，由此也可说明抛物线的焦点弦中相关的一些有用结论，这对我们的学习将大有裨通径最短．益，同时也可以方便、快速、准确地求解相关高考题．(2)梯形ABBA面积s一(AA+BB)．以抛物线Y一2px(>0)为例．AB一彻·AB，将性质(1)代入可得梯形定义1：连结抛物线上任意两点的线段叫抛物线的弦，特别地，经过焦点的弦叫焦点弦．ABBA面积S一娶．定义2

5、：当焦点弦垂直于轴时，该焦点弦称说明由性质(2)可知，当倾斜角一90。为抛物线的通径．时，梯形面积S一2p最小．记焦点弦端点A(z，y)，B(z，Y)，过A，B(3)过B点作BC__AA，垂足为C，在分别作准线z的垂线，垂足分别为A，B，F为焦点，a为直线AB的倾斜角(下同)，则有如下两个Rt／~ABC中，Ic。sa===Ic。sBAcl一一·34·中学数学月刊2013年第3期D'l-?／的一半，即s-二_．十1l，所以s一十7"／．S1n口3性质的应用结合性质Ⅲ+一AB一可得p：例1(2012年天津卷理科第l2题)已知抛结论

6、2如图2，切，J物线Y=2p：r(P>0)，焦点为F，准线为z，过抛物线与焦点弦的倾斜角相线上一点M作z的垂线，垂足为E，若【EF=】—‘—关．若M为AB的中MF，点M的横坐标是3，则P点，则直线MA和MB解在△MEF中，≤～分别与抛物线相切于点曰j因为EF=MF=ME，所，A和点B，且两切线的倾以△MEF为等边三角E‘＼斜角分别为詈和詈+詈．形，于是一MFE=厶厶厶6O。，因此HFE一60。．图2H0证明先证直线在Rt△HEF中，HF=MA，MB与抛物线相切EF，即HF一ME，由于M。为线段AB的中点，可设M(一P，)，于是

7、直线MA的方程为即p一丢(s+号)，计算图3得P一2．一一解后反思本题直接使用倾斜角，设而不l+2一—～差一z⋯托求，大大简化了运算．若采用常规方法，用解方程(组)的方法求解则较为繁琐．用此法还可方便地得一p：rP一求解2007年全国I卷文第12题、理第14题以及I—Y21十羞i一Y1Y2．化简2012年北京卷理第12题等．得2y—Yl—Y2===一Y2，即Y2yl+Y=0，例2(2008年江西此时△一0，可知直线M。A与抛物线相切于点A．卷理科第15题)过抛物同理可证，直线MB与抛物线相切于点B．线一2py(>0)的焦点F作

8、倾斜角为30。的直下证两切线的倾斜角分别为和+．线，与抛物线分别交于由抛物线的几何性质及平行线性质，可知A，B两点(点A在Y轴左／o，jFA平分AFO，FB平分BFO，于是A。FB1===90。．所以在Rt△AFBl中，AlM1一FM。．又因为AA1一AF，AM1一AM，所以