《矩阵的特征值总》PPT课件.ppt

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1、内积具有下列运算性质：（线性性）（对称性）（正定性）1.向量的内积的概念及性质复习2.向量的长度及性质向量的长度有下述性质：(1)非负性：(3)三角不等式：(2)齐次性：(4)柯西-布涅柯夫斯基不等式:3.正交向量组中的正交向量组必线性无关4.施密特正交化方法5.正交矩阵(1)QTQ=IQ为正交矩阵.(2)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1;(3)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT;(4)若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是正交矩阵.(5)Q为正交矩阵Q的列(行)向量组是单位正交向量组.第三节实对称矩阵的

2、特征值和特征向量（二）实对称矩阵的相关结论用正交矩阵P化实对称矩阵A为对角形矩阵的方法实对称矩阵的特征根是实数.一、实对称矩阵的相关结论定理4.11推论：n阶实对称矩阵有n个实特征根（重根按重数计算）实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。定理4.12证明于是补充定理：因不同的特征值对应的特征向量已知是正交的（定理4.12）,但同一特征值的线性无关的特征向量并不正交;可用施密特正交化方法把同一特征值的线性无关的特征向量正交化,对有重根的特征值的特征向量均作正交化后可得一个正交向量组,再将该正交向量组单位化,即可

3、得到单位正交向量组,合并可得正交矩阵.设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵.故有：定理4.13二正交矩阵P化对称阵A为对角阵将实对称矩阵对角化的步骤：例3：已知三阶矩阵A的特征值求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵解因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以从而:存在可逆矩阵P使由定理3,所以B的特征值为-4，-6，-12从而所求与B相似的对角矩阵为：1.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正

4、交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．小结练习对实对称矩阵，求出正交矩阵使为对角阵.解第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化作业：P20022(2)23作业