多面体欧拉公式的发现.ppt

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1、多面体欧拉公式的发现研究性课题：一些定义：若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。围成多面体的各个多边形叫多面体的面(Face)。两个面的公共边叫多面体的棱(Edge)。若干个面的公共顶点叫多面体的顶点(Vertex)。多面体的面数F4，棱数E6，顶点数V4。一个多面体至少有个面，条棱，个顶点．464回顾知识问题一：问题二：我们知道正多边形有无限多种，前面我们学习过，正多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。这是为什么呢？小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了N次,仍然没有合理地拼出此多面体.你能帮助他设计出来吗？多面体的顶点

2、数、面数和棱数之间有什么关系呢？瑞士数学家欧拉早在1750年就研究过这个问题，并得出自己的结论，下面我们就沿着欧拉的足迹来探索这个关系。1、观察下面有5个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填出下表；图形编号顶点数V面数F棱数E(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)468126898159916观察表中填出的各组数据中，V、F和E之间有什么规律吗？4612VFE+_+_=2图形编号顶点数V面数F棱数E(1)(2)(3)5581212247812观察表中数据，这些图形的V、F和E符合前面所找出的规律吗？出现这些区别的原因是什么？下面有3个多面体，分

3、别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E。比较前面问题1和问题2中的图形，如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们内部充气，那么其中哪些多面体能够连续(不破裂)变形，最后其表面可变为一个球面？定义：表面经过连续变形能变为一个球面的多面体叫做简单多面体．问题1：我们所熟悉的棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体是简单多面体吗？问题2：五种正多面体是简单多面体吗？图形顶点数V面数F棱数E正十二面体正二十面体201230122030问题3：五种正多面体都满足V+F-2=E吗？问题4：简单多面体都满足V+F-2=E吗？猜想：简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在规律：V+F–

4、E=2。欧拉（公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，他从19岁开始发表论文，直到76岁，共写下了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他是科学史上最多产的数学家。这是由欧拉在1750年发现的，故称为欧拉公式。欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓朴学。欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．过度的工作使他得了眼病，不幸右

5、眼失明了，这时他才28岁．不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，sin和cos，tan，△x，Σ，f(x)等．他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。1735年，欧拉解决了天文学中计算慧星轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成

6、了．基础知识形成性练习下列说法中正确的是（1）只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（2）所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（3）所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；（4）所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。A（1）（2）B（1）（4）C（2）（3）D（3）（4）小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了N次,仍然没有合理地拼出此多面体.现在你能帮助他设计出来吗？解：设足球中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个，棱数E=90，面数F=x+y,根据欧拉公式，得：另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示由以上两方程可解出答：这个形如足

7、球的多面体中五边形和六边形的面分别有12个和20个。一个顶点有三条棱，一条棱有两个顶点，得V=60=90练习与测试一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数V和面数F有F=V-2的关系。答案：由各面都是四边形知，凸多面体的棱数由欧拉公式得即F=V-2