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1、*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第十章10/7/2021高等数学课件一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.这说明无论被积函数正负皆可以按上述方法定限.由于机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y
2、–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解1:为简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解
3、2:先对y后对x积分,及直线则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件补充题计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件小贴士：关于二重积
4、分的对称性：D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称时仍有类似结果.在D上域D关于x轴对称,则则轮换对称性机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例6.解:机动目录上页下页返回结束求（08研）将分为曲线10/7/2021高等数学课件练习册.证明证:机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件技巧题设且求提示:交换积分顺序后,利用轮换对称性机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课
5、件练习1.提示:机动目录上页下页返回结束计算可表示为：其中D是由围成。10/7/2021高等数学课件练习2.提示:机动目录上页下页返回结束交换积分次序练习3.计算D如图所示。提示:10/7/2021高等数学课件练习4.提示:机动目录上页下页返回结束计算10/7/2021高等数学课件二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则及射线=常数,机动目录上页下页返回结束为在极坐标下计算先讨论积分区域D：分划区域D为即10/7/2021高等数学课件设则特别,对机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件特
6、例：若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y答:轴相切于原点,问应取多少？(1)(2)机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例6.计算D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件例7.计算解:由于对称性，只计算第一象限部分，①机动目录上页下页返回结束分为两个步骤：10/7/2021高等数学课件求交点机动目录上页下页返回结束②10/7/2021高等数学课件例8.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.
7、机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.10/7/2021高等数学课件例9.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知:机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件定积分换元法*三、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页
8、下页返回结束10/7/2021高等数学课件证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则机动目录上页下页返回结束10/7/2021高等数学课件同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似
