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1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示和运算湖南师大附中张汝波一般地,实数与向量的积是一个向量,记作:(1)(2)当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相同;(3)当时,或时,复习提问一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下:二、数乘的运算律：(2)第一分配律:(1)结合律:(3)第二分配律:1.定理:向量与非零向量共线的等价条件是有且只有一个实数,使得.三、共线向量基本定理：2).证明三点共线:3.定理的应用：1).证明向量共线3).证明两直线平行:又B为公共点A,B,C三点共线AB∥BCAB=λBC
2、2.定理的推论：四.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使说明：基底不唯一，且基底是不共线的两个向量。定理的推论：a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b新授：1.向量的夹角：已知两个非零向量a和b如图，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夹角当θ=0°时，a与b同向当θ=180°时，a与b反向oBAab共起点ABC思考:正△ABC中,向量AB与BC的夹角为几度?D2.向量的正交分解在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我
3、们研究问题带来方便.3.平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使成立则称(x，y)是向量的坐标如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底.记作：(1)与相等的向量的坐标均为(x,y)注意：(4)如图以原点O为起点作,点A的位置被唯一确定.此时点A的坐标即为的坐标（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)注意：（3）两个向量相等的充要条件：(6)3.平面向量的坐标表示(x,y)A
4、Oxy例1.如图,用基底，分别表示向量并求它们的坐标．解：由图可知同理，A1AA2yxO13.平面向量的坐标表示随堂练习坐标是.(2,3)x=,y=.标坐标为.(-2-x,1-y)31B标的坐标为(i,j),则点A的坐标为(m-i,n-j)问题探究：1、根据平面向量的坐标表示及向量的运算，你能完成下面的问题吗？(1)你能用表示吗？（2）xyO一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．2.已知问题探究：同理可得：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差4.平面向量的坐标运算
5、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标3.平面向量的坐标运算xyo例题讲解如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标的坐标.例题讲解例题讲解解法1：设顶点D的坐标为（x，y）已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2,1)、(－1,3)、(3,4),求顶点D的坐标．11yxOABCD11yxOABCD解法2:由向量加法的平行四边形法则可知课堂练习：(2,4)（-3，9）（-5，5）课堂练习：课堂练习：(1)两
6、向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；小结
