线性代数及其应用电子教案第三章 3.2.ppt

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1、§2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关给定向量组Aa1a2am如果不存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0.则称向量组A是线性无关的.§3.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am

2、如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关换言之,给定向量组Aa1a2am若k1a1k2a2kmam0,必有k1=k2==km=0,则称向量组A是线性无关的.向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关显然有(1)含零向量的向量组必线性相关(

3、2)一个向量a线性相关a0(3)两个非零向量a1a2线性相关a1ka2(即对应分量成比例)下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关向量组Aa1a2am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示这是因为:如果向量组A线性相关则有k1a1k2a2kmam0其中k1k2km不全

4、为0不妨设k10于是a1(1/k1)(k2a2kmam)即a1能由a2am线性表示下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关向量组Aa1a2am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示这是因为:如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示即有12

5、m1使am1a12a2m1am1于是1a12a2m1am1(1)am0因为12m11不全为0所以向量组A线性相关下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关下页问题:如何判断向量组A是否线性表相关？向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全

6、为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关定理1向量组A:a1a2am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1a2am)的秩小于向量个数m向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m这是因为向量组Aa1a2am线性相关x1a1x2a2xmam0即Ax0有非零解R(A)m下页（i)(定义)若k1a1k2a2kmam0,必有k1=k2==km=0；给定向量组

7、Aa1a2am线性无关的等价条件：（ii)(方程组)Ax0仅有零解；（iii)(矩阵)R(A)=m.给定向量组Aa1a2am线性相关的等价条件：（i)(定义)存在不全为零的k1,k2,km使得k1a1k2a2kmam0（ii)(方程组)Ax0有非零解；（iii)(矩阵)R(A)

8、性方程组无非零解或Ax0方程观点矩阵观点向量观点设有x1x2x3使x1b1x2b2x3b30即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30因为a1a2a3线性无关故有例1已知向量组a