线性代数智能化教学系统第四章相似矩阵与二次型 第2节.ppt

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1、第4.2节矩阵的特征值与特征向量定义计算方法性质工程技术中的振动问题和稳定性问题，往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题，矩阵的特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要，而且可直接用于解决实际问题．4.2.1特征值与特征向量的定义作用是很简单的．尽管线性变换y=Ax有可能使向量往各个方向变化，但通常会有某些特殊向量，A对这些向量的引例请在矩阵对向量的作用中任意输入矩阵，观察它对单位向量组的作用，对于您输入的矩阵，是否存在一个单位向量，使矩阵对该向量的作用只是“拉伸”了该向量．备选数据：在引例中我们发现，有些二阶矩阵A存在2

2、维非零向量x，矩阵A对向量x的作用只是“拉伸”了向量x即有Ax=x.而对有些二阶矩阵A则找不到满足Ax=x的2维非零向量x.并且去寻找那些被A变换成自身一个数量倍的向量．在这一节中，我们将研究形如Ax=x的方程，定义4.2.1A为nn矩阵，x为非零向量，若存在数使Ax=x成立，则称为A的特征值，x称为对应于的特征向量．容易验证给定的向量是否是矩阵的特征向量，也容易判断给出的数是否是特征值．例1设问u和v是否是A的特征向量？例2验证7是例1中矩阵A的特征值，并求特征值7对应的特征向量．4.2.2特征值与特征向量的计算

3、下面我们来研究矩阵的特征值与特征向量的计算方法．特征值与特征向量的定义公式Ax=x也可写成(A–E)x=0，这是n个未知量n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

4、A-E

5、=0，即上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程.其左端

6、A-E

7、是的n次多项式，记作f(),称为方阵A的特征多项式.值.显然，A的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A有n个特征设=i是矩阵A的一个特征值，则由方程(A–iE)x=0可求得非

8、零解x=pi，那么pi便是A的对应于特征值i的特征向量．因此，求特征向量就是求齐次方程组的非零解．于是有以下定理定理4.2.1A为nn矩阵，则数0为A的特征值的充分必要条件是：0是A的特征多项式det(E-A)的根；n维向量是A的对应于特征值0的特征值向量的充分必要条件为是齐次线性方程组(0E-A)x=0的非零解．计算矩阵A的特征值、特征向量的步骤：Step1：计算特征多项式det(E-A)；Step2：求出特征多项式det(E-A)的全部根1,2,…,s(sn)，它们就是A的全部特征值；Step3：

9、求出齐次线性方程组(iE-A)x=0的的一个基础解系则为A对应于特征值i(i=1,2,…,s)的全部特征向量．例3设矩阵求A的特征值与特征向量.例4设矩阵求A的特征值与特征向量.例5设矩阵求A的特征值与特征向量.特征值与特征向量的性质(2)12…n=

10、A

11、.定理设1,2,…,n是n阶矩阵A=(aij)的n个特征值(k重特征值算作k个特征值),则(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann;由该定理容易得到下面的推论．推论方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0．则p1,p2正交.定理4.2.2设1,2是对称

12、矩阵A的两个特征值,p1,p2是对应的特征向量,若12,利用定理4.1.1和定理4.2.2，容易得到下面的定理4.2.3对称矩阵A的不同特征值的特征结论．向量是线性无关的．