矩阵乘积的行列式与秩.ppt

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1、主要内容矩阵乘积的行列式第三节矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的秩一、矩阵乘积的行列式定理1设A，B是数域P上的两个nn矩阵，那么

2、AB

3、=

4、A

5、

6、B

7、，(1)即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘证明这个定理就是第二章第八节的积.用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的情形，即有推论1设A1,A2,…,Am是数域P上的nn矩阵，于是

8、A1A2…Am

9、=

10、A1

11、

12、A2

13、…

14、Am

15、.定义9数域P上的nn矩阵A称为非退化的，如果

16、A

17、0；否则称为退化的.显然，一nn矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩

18、等于n.推论2设A，B是数域P上的nn矩阵,矩阵AB为退化的充分必要条件是A，B中至少有一个是退化的.二、矩阵乘积的秩关于矩阵乘积的秩，我们有：定理2设A是数域P上的nm矩阵，B是数域P上的ms矩阵，于是秩(AB)min[秩(A),秩(B)].即乘积的秩不超过各因子的秩.(2)证明为了证明(2)，只需要证明秩(AB)秩(A)与秩(AB)秩(B)同时成立即可.现在来分别证明这两个不等式.设令B1,B2,…,Bm表示B的行向量，C1,C2,…,Cn表示AB的行向量.由计算可知，Ci的第j个分量和a

19、i1B1+ai2B2+…+aimBm的第j个分量都等于因而Ci=ai1B1+ai2B2+…+aimBm(i=1,2,…,n),即矩阵AB的行向量组C1,C2,…,Cn可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，即秩(AB)秩(B).同样，令A1,A2,…,Am表示A的列向量，D1,D2…,Ds表示AB的列向量.由计算可知，Di=b1iA1+b2iA2+…+bmiAm(i=1,2,…,s).这个式子表明，矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，

20、秩(AB)秩(A).证毕用数学归纳法，定理2不难推广到多个因子的情形，即有推论3如果A=A1A2…At,那么秩(A)秩(Aj).本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回

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