解析几何坐标系变换.ppt

《解析几何坐标系变换.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、定义设，令称矩阵为矩阵与矩阵的乘积，记为。方法如下：矩阵的乘法记为例如不存在.主对角元全为1而其他元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为或,即定义称为单位矩阵（或单位阵）.性质1对任一m×n矩阵,均有，一.仿射坐标系定义:空间中一点O与三个不共面向量e1,e2,e3一起构成空间的一个仿射标架,记[O,e1,e2,e3].称e1,e2,e3为它的坐标向量.O称为它的原点.对于空间任意一点A,把向量OA(称为A的定位向量)对e1,e2,e3的分解系数构成的有序数组称为点A关于上述仿射标架的仿射坐

2、标.e3e2e1OPOP=ae1+be2+ce3仿射坐标系{O;e1,e2,e3}.任意点P,存在唯一的有序数组(a,b,c)使得OP=ae1+be2+ce3.e3e2e1OP坐标原点点P的定位向量坐标向量或基P的坐标在不同的坐标系下，同一个点的坐标是不同的，从而图形的方程也是不同的。问题1：对于给定的图形，怎样选坐标系？使得它的方程最简单。问题2：在不同的坐标系下，同一图形的不同方程之间有什么关系？设在空间中我们取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为和Oe1e2e3O’e1’e2’e3’M设在

3、中的坐标依次为用矩阵表示为矩阵称为从坐标系到的过渡矩阵，它是以在中的坐标为各个列向量的三阶矩阵。设向量在和中的坐标分别为它们与和之间的位置关系有直接相关的。于是由坐标的定义，这说明在中的坐标为用矩阵表示为：向量的坐标变换公式：下面讨论点的坐标变换公式。设点M在和中的坐标分别为，它们分别是向量在中的坐标和向量在中的坐标。由公式得在中的坐标为由于，如果设点在中的坐标为，则这就是点的坐标变换公式的矩阵形式。点的坐标变换公式的一般形式为曲面的方程的变换公式。设S是一张曲面，它在中的一般方程为求它在中的一般

4、方程。对于点M，如果它在中的坐标为，则在中的坐标为因此点M在S上充要条件为：把上式左端的函数式记作则是S在中的一般方程，称它为由S在中的方程经过坐标变换化为S在中的方程。过渡矩阵的性质因为中的坐标向量是不共面的，所以过渡矩阵的行列式，即是满秩矩阵。命题设有三个仿射坐标系。到的过渡矩阵为，到的过渡矩阵为，则到的过渡矩阵为直角坐标变换的过渡矩阵，正交矩阵设和是空间中的两个直角坐标系，到的过渡矩阵为因为是直角坐标系，C的各个列向量依次是在中的坐标，所以它们之间的内积为又是直角坐标系，所以于是实方矩阵，满

5、足，则称为正交矩阵。命题两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵。对于平面上两个直角坐标系，它们的过渡矩阵是正交矩阵。则它是二阶正交矩阵，设为则于是于是二阶正交矩阵只有下面两种形式：平面直角坐标变换公式一个是旋转,一个是旋转加反射.现考虑在一个右手直角坐标系中，一个二次方程做法是通过转轴和移轴，寻找一个新的右手直角坐标系，使得方程最简，从而看出其几何形状。下面用转轴消去交叉项。新方程的二次项部分由原方程的二次项部分得于是，要使得新坐标系的方程不出现交叉项，只需取满足例化方程为标准二次方程。作业P13

6、44,5,P1357,10.