九年级数学上册专题突破讲练切线长定理和三角形的内心试题（青岛版）.doc

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1、切线长定理与三角形的内心1.切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。符号语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA＝PB，∠1＝∠2。说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆

2、的一条切线。（2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。3.三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。说明：⑴三角形的内心一定在三角形的内部；⑵三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；⑶三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。4.切线长定理的基本图形研究如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，则：⑴由切线长定理得：PA＝PB⑵由

3、等腰三角形三线合一性质得：PC⊥AB，AC＝BC⑶由垂径定理得：；AD＝BD⑷由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP⑸∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8⑹由AD、BD分别平分∠PAB和∠PBA得点D为△ABP的内心。例题如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点Ｐ作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）A.rB.C.2rD.解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切

4、线长定理可知，，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。解：连接OD、OE，的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC。又的切线，且、是切点，∴MD＝MP，同理可得。＝BD＋BE＝2r。选C。答案：C点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径（a、b是直角边，是斜边）。利用切线长定理进行推理证明“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。满分训练已知⊙O中，A

5、C为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B。（Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小。图①图②解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，∠BAC＝25°，易算∠MAB，再由切线长定理，可得MA＝MB，则∠MBA＝∠MAB得解。（2）连接BA、BD，可得平行四边形BMAD是菱形，由，可得BA＝AD＝BD，可得⊿BAD为等边三角形，从而可得∠AMB＝60°。答案：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，有。又∠BAC＝25°，∴。∵MA、MB分

6、别切⊙O于点Ａ、B。∴MA＝MB，有，∴。（Ⅱ）如图，连接AD、AB。∵，又，∴BD∥MA。又BD＝MA。∴四边形MADB是平行四边形。∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，有AD＝BD。又AC为直径，，得，有AB＝AD。∴是等边三角形，有。∴在菱形MADB中，∠AMB＝。点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的快速解决。（答题时间：30分钟）1.一个钢管放在V形架内（如图），O为钢管的圆心。如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（）A.50cmB.25cmC.cmD

7、.50cm2.如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（）A.EF＞AE＋BFB.EF＜AE＋BFC.EF＝AE＋BFD.EF≤AE＋BF3.如图，AB为半圆O的半径，AD、BC分别切于A、B两点，CD切于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①；②；③；④；⑤。其中正确的结论有（）A.①②⑤B.②③④C.③④⑤D.①④⑤4.（武汉中考）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若∠CED＝°，∠EC

8、D＝°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A.B.C.D.5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝。6.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若，那么的度数为。7.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点。若∠A＝50°，则∠EPH＝。8.（恩施州中考）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角