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1、第四章随机变量的数字特征一、数学期望二、方差三、协方差和相关系数四、矩和协方差矩阵数学期望第四章第一节二、随机变量函数的数学期望一、数学期望的概念三、数学期望的性质一、数学期望的概念引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数获得(元)1点12,3点24,5,6点4求：一次游戏平均得多少钱？解：假设做了n次游戏，每次平均得：当n很大时，引例甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？(射击相同次，哪个总环数多)解:设射击N枪因此，甲的射击水平要比乙的好。甲：乙：若级数绝对收
2、敛，设离散型随机变量X的分布律为简称期望或均值，记为E(X).则称此级数的和为X的数学期望。即1、定义1注：E(X)是一个常数，表示的是随机变量取值的平均，与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均设连续型随机变量X的概率密度为为X的数学期望。2、定义2如果绝对收敛，则称简称期望或均值，记为E(X).即注：并不是任何随机变量都存在期望。（要满足绝对收敛的条件）反例：解设试开次数为X,于是某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一
3、次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.例13、几种常用离散型分布的期望(1)（0—1）分布(2)二项分布(3)泊松分布4、几种常用连续型分布的期望(1)均匀分布(2)指数分布(3)正态分布例2、有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个指数分布，参数为(1)若将这5个电子串联工作组成整机，求整机寿命N的数学期望。(2)并联成整机，求整机寿命M的数学期望。解：(1)(2)例3.某项任务完成所需时间T该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若在100天至115天内完成，则得奖金1000
4、元,115天,罚款5000,求完成任务获得的平均奖金数解:由得,规定：若超过设Y是完成该任务所获奖金数，则Y的可能取值为10000,1000,-5000从而Y的分布律为0.5100000.0013-50000.49871000二、随机变量函数的数学期望那么应该如何计算呢？设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数g(X)的期望.按照期望的定义把E[g(X)]想法：因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，g(X)的分布可以由已知的X的分布求出来.知道了g(X)的分布，计算
5、出来.解:已知X的分布律为求的数学期望。1/41/81/43/8-1012Eg:1/41/81/43/810141/21/83/8104事实上不必求分布定理1设(g为连续函数)⑴设X为离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛,则g(X)的数学期望为⑵设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),若绝对收敛,则g(X)的数学期望为这给求随机变量函数的期望带来很大方便。该公式的重要性在于:知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。当我们求E[g(X)]时,不必定理2设(X,Y)是二维随机变量,g(
6、X,Y)是二元连续函数⑴设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则Z的数学期望为⑵设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z的数学期望为绝对收敛设随机变量X的概率密度为例1求E(1/X)。解：例2已知(X,Y)的分布律为求解例3.设某公共汽车站于每小时的10分,50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。设T为乘客到达车站的时刻(分)，解:则其概率密度为设Y为乘客等车时间，则已知的概率密度例4、求解同理1.设C是常数，则E(C)=C;2.若C
7、是常数，则E(CX)=CE(X);3.三、数学期望的性质证明:设4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);证明:设（当Xi独立时）推广：注：该性质不是充要条件证明：6、5、例1、任意掷5颗骰子，X—5颗骰子出现的点数之和,求E(X).解：123456例2、二项分布解：则而，则所以,，求E(X)。X表示n重伯努利试验中成功的次数.注意：分割随机变量的原则。例3、将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，用X表示装对信件的个数，求EX。解：则01例4一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有
8、10个车站可以下车，就不停车。以X表示停车的次数。求E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。如到达一个车站没有旅客下车第i站无人下车,第i站有人下车.解：设则注:不是相互独立的。已知例5求服从参数为3的指数分布，X,Y相互独立，解由随机变量的性质可知例如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果中心中心其落点距目标的位置如图，又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：甲：1.60、1.62
