线性代数总复习温习.ppt

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1、线性代数复习1复习时注意准确掌握每个概念灵活应用所学定理注意解题思路清晰证明问题时,先用反向思维(从结论入手)分析问题,再按正向思维写出证明过程.第一章行列式3二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则4一、二阶行列式三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.5二、三阶行列式——沙路法则三、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等,即.6性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式

2、为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.四、行列式按行（列）展开法则定理3行列式等

3、于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即(1)对角行列式(2)8特殊行列式：(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）9例1：则10第二章矩阵及其运算11由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记作一、矩阵的定义12行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素是一个数矩阵行列式13行数与列数都等于n的矩阵

4、，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O.例如：二、特殊的矩阵14形如的方阵称为对角阵．特别的，方阵称为单位阵．记作记作．155.纯量矩阵，对角线上的元素是相同的；对角矩阵，对角线上的数字可以是不同的。6.对称阵：设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵（对角元素为0）167.同型矩阵两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.两个矩阵

5、与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.17三、矩阵运算1、矩阵的加法：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B。说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.182、数与矩阵相乘：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为3、矩阵与矩阵相乘：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．19只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例2：注意：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有，从

6、而不能由得出或的结论．3.矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵lE与任何同阶方阵都是可交换的.20(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即4、矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立21四、矩阵的转置定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT.22转置矩阵的运算性质五、方阵的行列式定义：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作

7、A

8、或detA

9、.运算性质23例1：设A为n级方阵，

10、A

11、=5，则

12、-6A

13、=？5*(-6)n定义：行列式

14、A

15、的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.元素的代数余子式位于第j行第i列性质24定义：n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的（如果有的话）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵，记作A－1.25六、逆矩阵定

16、理：若，则方阵A可逆，而且推论：若，则.26定理：若方阵A可逆，则．推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且注意：如果N阶矩阵A或B不可逆，则AB必不可逆,因为:矩阵的秩越乘越小,r(AB)<=min{r(A),r(B)}七、矩阵分块法定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.27定义：由单位