高中数学学案双曲线.doc

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1、学案50　双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内到两个定点F1、F2(F1F2＝2c>0)的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M

2、

3、MF1－MF2

4、＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是_______

5、_；(3)当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双

6、曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为____________，其渐近线方程为________，离心率e为________．自我检测1．(2011·安徽改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________________________________．2．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________.3．(2011·课标全国改编)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂

7、直，l与C交于A，B两点，

8、AB

9、为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．4．已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是________．5．已知A(1,4)，F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求PF＋PA的最小值．探究点一　双曲线的定义及应用例1　已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．探究点二

10、　求双曲线的标准方程例2　已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2　(2010·安庆模拟)已知双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于，则双曲线的方程为____________．探究点三　双曲线几何性质的应用例3　已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3　已知双曲线C：－y2＝1.(1)求双曲线C的渐近线方程；(

11、2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝·，求λ的取值范围．方程思想例　(14分)过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求AB；(2)求△AOB的面积；(3)求证：AF2＋BF2＝AF1＋BF1.多角度审题　(1)要求弦长AB需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解　由双曲线的方程得a＝，b＝，

12、∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.[4分]∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴AB＝

13、x1－x2

14、＝·＝·＝.[8分](2)解　直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.∴S△AOB＝AB·d＝××＝.[10分](3)证明　如图，由双曲线的定义得AF2－AF1＝2，BF1－BF2＝2，∴AF2－AF1＝BF1－BF2，即AF2＋BF2＝AF1＋BF1.[14分]【突破思维障碍】本题利用方程的思想，把过

15、点A的直线方程与双曲线方程联立，从而转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理求解，这种思想在解析几何中经常用到．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致