《平面向量的数量积》PPT课件.ppt

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1、第三节　平面向量的数量积第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.课前自修知识梳理一、平面向量的数量积的定义1．向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夹角．当且仅当两个非零向量a，b同方向时，θ＝0°，当且仅当a，b反方向时，θ＝180°，

2、同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．2．a与b垂直：如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.3．a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即ab＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，规定0·a＝0，非零向量a与b当且仅当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.5．a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1．e·a＝a·e＝

11、a

12、cosθ.2．a⊥b

13、⇔a·b＝0.三、平面向量数量积的运算律1．交换律成立：a·b＝b·a.2．对实数的结合律成立：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R).3．分配律成立：(a±b)·c＝a·c±b·c＝c·(a±b).基础自测1．(2012·福建卷)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即(x－1)×2＋2×1＝0，解得x＝0.故选D.答案：D4．已知平面向量α，β，

14、α

15、＝1，

16、β

17、＝2，α⊥(α－2β)，则

18、2α＋β

19、

20、的值是________．考点探究考点一平面向量的数量积的概念【例1】判断下列各命题正确与否．(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(2)若a·b＝a·c，则b≠c当且仅当a＝0时成立；(3)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；(4)对任一向量a，有a2＝

21、a

22、2；(5)0a＝0；(6)0·a＝0.思路点拨：(1)(2)可由数量积的定义判断；(3)通过计算判断；(4)把a2转化成a·a＝

23、a

24、2可判断；对于(5)与(6)，要清楚0a为零向量，而0·a为零．解析：(1)∵a·b＝a·c，∴

25、a

26、

27、b

28、c

29、osα＝

30、a

31、

32、c

33、cosβ(其中α，β分别为a与b，a与c的夹角)．∵

34、a

35、≠0，∴

36、b

37、cosα＝

38、c

39、cosβ.∵cosα与cosβ不一定相等，∴

40、b

41、与

42、c

43、不一定相等．∴b与c也不一定相等．∴(1)不正确．(2)若a·b＝a·c，则

44、a

45、

46、b

47、cosα＝

48、a

49、

50、c

51、cosβ(α，β为a与b，a与c的夹角)．∴

52、a

53、(

54、b

55、cosα－

56、c

57、cosβ)＝0.∴

58、a

59、＝0或

60、b

61、cosα＝

62、c

63、cosβ.当b≠c时，

64、b

65、cosα与

66、c

67、cosβ可能相等．∴(2)不正确．(3)(a·b)c＝(

68、a

69、

70、b

71、cosα)c

72、，a(b·c)＝a

73、b

74、

75、c

76、cosθ(其中α，θ分别为a与b，b与c的夹角)．(a·b)c是与c共线的向量，a(b·c)是与a共线的向量．∴(3)不正确．(4)正确，(5)不正确，(6)正确．点评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．通过该题我们应搞清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系．变式探究1．(2012·浙江卷)设a，b是两个非零向量()A．若

77、a＋b

78、＝

79、a

80、－

81、b

82、，则a⊥bB．若a⊥b，则

83、a＋b

84、＝

85、a

86、－

87、b

88、C．若

89、a＋b

90、＝

91、a

92、－

93、b

94、，则存

95、在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则

96、a＋b

97、＝

98、a

99、－

100、b

101、解析：利用向量运算法则，特别是

102、a

103、2＝a2求解．由

104、a＋b

105、＝

106、a

107、－

108、b

109、知(a＋b)2＝(

110、a

111、－

112、b

113、)2，即a2＋2a·b＋b2＝

114、a

115、2－2

116、a

117、

118、b

119、＋

120、b

121、2，∴a·b＝－

122、a

123、

124、b

125、.∵a·b＝

126、a

127、

128、b

129、·cos，∴cos＝－1，∴＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若

130、a＋b

131、＝

132、a

133、－

134、b

135、，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共

136、线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则

137、a＋b

138、＝

139、a＋λa

140、＝

141、1＋λ

142、

143、a

144、，

145、a

146、－

147、b

148、＝

149、a

150、－

151、λa

152、＝(1－

153、λ

154、)

155、a

156、，只有当－1≤λ≤0时，

157、a＋b

158、＝

159、a

160、－

161、b

162、才能成立，否则不能成立，故D错误．答案：C考点二求向量的数量积变式探究考点三两个向量数量积性质的应用变式探究3．(2012·淮