多元函数的极限和连续性.ppt

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1、一、多元函数的概念点集E---定义域，x、y---自变量，u---因变量.---值域.定义:1二元函数的图形通常是一张曲面.(x,y)2例1与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.函数z=f(x,y)的定义域可以表示为:或3例2:求的定义域．解:所求定义域为要使函数有定义,必须244一元函数的极限.设当x不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0y=f(x)x0xx0就是>0,>0.当0<

2、x–x0

3、<时,有

4、f(x)–A

5、<.二、二元函数的极限5定义：(点函数)(等价叙述)6说明：（

6、2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．7例3求极限解其中8证明例4证明不存在．取其值随k的不同而变化，而非确定的常数,故极限不存在．9确定极限不存在的方法：10三、二元函数的连续性即f（M）在极限值等于函数值。11解取当时故函数在(0,0)处连续.例5讨论函数在(0,0)处的连续性．12例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．13注:例14（1）有界性定理（2）一致连续性定理四、有界闭区域上连续函数的性质15（3）最大值和最小值定理16（4）零点存在定理17多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数

7、经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．18例７解19五、二重极限和二次极限定义:二次极限有两个:二重极限:20（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。例8解二重极限和二次极限的关系21(2)两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。例9因为两个二次极限都存在但不相等。解所以，二重极限必不存在。22两个二次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在。例10注：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的联系.解23定理24定理说明:若二重极限和某一个二

8、次极限都存在,则二者一定相等.因此,若两个二次极限存在但不相等,则二重极限一定不存在.(3)若两个二次存在并相等,即则二次极限可以交换求极限的顺序.25证明:26(请同学自己写出这个定理并证明).作业:P1521(2).(3)2(2).(4)5(1)6(2)27