量子力学中的力学量.ppt

《量子力学中的力学量.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章量子力学中的力学量第4(5)节厄米算符本征函数的正交性则称两个函数正交性定义（互相）正交性以后说明这是通常矢量正交性的自然推广定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。定理：厄米算符的本征值是实数定理2：若厄米算符某个本征值存在k个不同(线性无关)本征函数，则必可从它们的线性组合中选择k个彼此正交的（本征）函数。显然k维子空间V中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数第4(5)节厄米算符本征函数的正交性根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如一维无

2、限深势阱动量算符本征函数角动量算符本征函数一维线性谐振子氢原子波函数第5(6)节算符与力学量的关系前面提到，系统处于力学量算符(厄米算符)的本征函数描述的状态(本征态)，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：完全系若厄米算符的(正交归一)本征函数集则称该函数集构成完全系或完备集满足方便起见，其实只需要函数无关即可展开系数称为几率幅注意展开系数满足第5(6)节算符与力学量的关系测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个

3、本征值。因此，测量的平均值是平均值公式学量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值的几率是量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符算符其本征函数构成展开系数称为几率幅测量F结果为波函数塌缩为完全系。当系统由归一化波函数描述时，测量力归一化了例题氢原子处于基态，求电子动量的几率分布第5(6)节算符与力学量的关系例题(p1013.6题)设t=0时，粒子处于状态求此时粒子的平均动量和平均动能按动能算符的本征函数展开按动量算符的本征函数展开平均动能平均动量平均动能第5(6)节算符与力学量的关系例题(p1013.7题)一

4、维运动粒子的状态是归一化常数A=?若粒子的能量为E,求系统的势能。动量的几率分布函数平均动量动量的几率分布函数平均动量实际上，平均动量一看就知道为零积分是实数！第5(6)节算符与力学量的关系平均能量实际上，平均能量可以非常方便地计算出例题(p1013.8题)一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是求粒子能量的几率分布和能量平均值。能量本征函数和能量本征值是能量的几率分布第5(6)节算符与力学量的关系例题(p1023.9题)若氢原子处于状态求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量

5、的平均值是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数氢原子定态波函数角动量z分量角动量平方能量可能值几率平均值第5(6)节算符与力学量的关系2个有用的定理H-F定理系统处于束缚定态，则维里定理系统处于束缚定态，若势能是α次齐次函数则由前面的定理第5(6)节算符与力学量的关系由维里定理得动量几率分布例题一维谐振子处于能量本征态1)求势能的平均值。2)求动能的平均值。3)求动量几率分布例题p100的3.2题氢原子处于基态1)求r的平均值。2)求势能的平均值。3）最可几半径(前面已讲，略)。4)求动能的平均值。5

6、)求动量几率分布(前面已讲，略)。该题当n=0时就是p100的3.1题由维里定理得第6(7)节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系两个算符乘积一般与次序有关定义对易式坐标算符与动量算符的对易式基本对易关系同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系其它(有经典对应的)物理量的对易关系可从基本对易关系导出例如角动量算符的对易式对易式的公式对易两力学量算符对易——两力学量同时有确定值的条件不对易定理两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集第6(7)节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系第6

7、(7)节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系定理两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态则这两个力学量同时有确定值注意：两个力学量不对易=>没有共同构成完全系的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！例如，两力学量算符对易——两力学量同时有确定值的条件第6(7)节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系测不准关系不对易情况若2个厄米算符F,G满足对易关系定义2个新厄米算符定理两个力学量算符满足对易关系则它们满足测不准关系引入非负积分厄米算符

8、：第6(7)节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系定理两个力学量算符满足对易关系则它们满足测不准关系习题：证明—力学量算符满足ψ是该算符的本征态Heisenburg(也称为基本)测不准关系厄米算符位置与（相应的）动量不能够同时准确决定动能与势能不能同时准确决定总能量=动能+势能不再成立应该是这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问例题：第6(7)节算符的对易