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1、对称问题一.中心对称(关于点的对称)(一）点关于点的对称点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y).练习:(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标.(二）直线关于点的对称直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.解:(法一)直接代入上面结论(
2、法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上.(法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等.一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0.二.轴对称(即关于直线的对称)例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.解(法一)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:线段AB⊥l即;=-1①线段AB被直线l平分,即线段AB的中点在直线l上,故有2--5=0②(一)点关于直线的对称:联立
3、①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)（法二）∵直线AB⊥l,直线AB过点（-7，1）∴直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=0由解得即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:(1)（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组:由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标(2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出
4、对称点Q的坐标.（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为一般地：点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0）点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b）点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b）点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（x0，-y0）点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0）点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x0，2m-y0）点（x0，y0）关
5、于直线x=n的对称点为（2n-x0，y0）注：当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。（二）直线关于直线的对称例3.求直线m:x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线n的方程.解:设直线m,l,n的斜率分别为k1,k,K2.由直线关于直线对称的定义知:直线m到直线l的角等于直线l到直线n的角.又k1=1,k=3∴解得:k2=-7由解得xyomnl即直线m,l,n的交点为∴直线n的方程为法(二):在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直线l的对称点A1落在直线n上,然后解出直线l和m的交点,由直线
6、方程的两点式求出直线n的方程.例4.已知△ABC的顶点为A(-3,0),B(0,3),C(3,-12)求:∠A的内角平分线所在的直线方程.解（法一）设:∠A平分线所在直线l的斜率为k∵直线AC到l的角等于l到直线AB的角,又kAC=-2,kAB=1∴∴K=3-其方程为即（法二）设∠A的内角平分线交直线BC与点T∵∠A的内角平分线的斜率K∈(-2,1),∵∴∴点T分有向线段的比为设T（x，y），由定比分点坐标公式得：xABCyoT∴T由直线方程的两点式求得∠A内角平分线所在直线的方程问（1）你会用第三种方法解这道题吗？（2）你会求∠A外角平分线所在直线的方程吗
7、？一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以下结论直接代入；设直线方程为f（x，y）=0则：直线f（x，y）=0关于直线y=x对称的直线方程为f（y，x）=0直线f（x，y）=0关于直线y=--x对称的直线方程为f（-y，-x）=0直线f（x，y）=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0直线f（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的直线方程为f（b-y，-x+b）=0直线f（x，y）=0关于直线y=0（x轴）对称的直线方程为f（
8、x，-y）=0直线f（x，y）=0关于直线x=0（y
