解斜三角形含答案.doc

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1、考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示，在四边形中，已知，，求的长.题型2：三角形面积例2．在中，，，，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。①,②①+②得。①－②得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2

2、=ac－bc，求∠A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=6在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴=sinA=

3、。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sinC=sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB∴sin（A－B）＝0，∴A＝B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5：三角形中求值问题例5．的三个内角为，求当A

4、为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2(sin－)2+；当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D

5、点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，       在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，

6、但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例8.在中，内角的对边长分别为，已知（1）若的面积为，求的值.（2）若,求的面积.例9.在中，角的对边长分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知两边和其中

7、一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角学中的射影定理：在△ABC中，，…3．两内角与其正弦值：在△ABC中，，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练1.（2010上海文数18.）若△的三个内角满足，则△（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐

8、角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角2.（2010天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A