函数的对称性与周期性.doc

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1、高一数学知识点补充-----函数的对称性与周期性一、对称性（轴对称、中心对称）类型：函数自身的对称性探究命题1、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。特别地，（1）若f(x)=f(－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。（2）若f(a+x)=f(a－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。特别地，（1）若f(x)+f(－x)=0，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形

2、。（2）若f(x)+f(2a－x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。二、周期性1.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则称T为这个函数的一个周期2.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么3.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（2）,则的周期T=2a（3）或或,则的周期T=2a三、例题讲解[例1]若，则的周期T=6a，请推导。[例2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=______2

3、[例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.[例4]设函数的定义域为R，且满足，则图象关于__________对称。的图象关于__________对称。[例5]已知函数满足，则图象关于________对称。[例6]已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为___________[例7]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＝__

4、____.2