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时间:2020-03-15
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1、..学科:数学教学内容:导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1.本章主要内容是导数与微分的概念,求导数与求微分的方法,以及导数的应用. 2.导数的概念. 函数y=f(x)的导数f′(x),就是当△x→0时,函数的增量△y与自变量△x的比的极限,即 函数y=f(x)在点处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率. 3.函数的微分 函数y=f(x)的微分,即dy=f′(x)dx. 微分和导数的关系:微分是由导数来定义的,导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示,即. 函数
2、值的增量△y也可以用y的微分近似表示,即△y≈dy或△y≈f′(x)dx。 4.求导数的方法 (1)常用的导数公式 c′=0(c为常数); ;.下载可编辑... (sinx)′=cosx; (cosx)′=-sinx; , ; , 。 (2)两个函数四则运算的导数: (u±v)′=u′±v′; (uv)′=u′v+uv′ 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u),, 则. 5.导数的应用 (1)切线的斜率 根据导数的几何意义,函数f(x)在点处的导数就是曲线f(x)在点处的切线斜率。因此,求函数
3、在某点处的切线斜率,只要求函数在该点处的导数。 (2)函数的单调性 当函数y=f(x)在某个区间内可导时,如果f'(x)>0,则函数y=f(x)在这个区间上为增函数;如果f'(x)<0,则函数y=f(x)在这个区间上为减函数.对于某个区间上的可导函数,利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。 (3)函数的极值 对于可导函数f(x)判断其极值的方法为; 1°.如果在附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么,是极大值; 2°.如果在附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么,是极小值. 可导函数f(x)在
4、极值点处的导数是0;导数为0的点不一定是极值点.例如,对于函数,x=0点处的导数是0,但它不是极值点. (4)函数的最值 闭区间[a,b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值,其求法为: 1°.求函数f(x)在(a,b)内的极值; 2°.将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。.下载可编辑... 【难题巧解点拨】 例1已知函数(a>0且a≠1)在定义域[0,1]上是减函数,求a的取值范围。 分析因为f(x)在[0,1]上是减函数,所以在[0,1]上必有f′(x)<0。由
5、不等式f′(x)<0求出a的取值范围。 解, 由得 (1)或(2) ∵0≤x≤1,∴不等式(1)无解 因而知a>1,又由 ∴16、知的最小值为-27。 从而-27>2-a,故a>29。 点拨.下载可编辑...对于有关恒成立问题,一般思维方式是:a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]的最大值;a7、点为。 4.提示:由y′=0,得切点的横坐标为.下载可编辑... ;又由y=0,得。 5.提示:由,得;由,得。 (1)由,得或; (2)由,得。 6.提示:割线斜率为5,由y′=5,得所求点为(2,5)。 7.(1); (2)dy=2sinxcosxdx; (3); (4)。 8.质点的速度为。 9.(1)由S=0,得,; (2)由S′=0,得,,。 10.(1)当x∈R时,y是减函数。 (2)当x∈(-∞,-1)时,y是减函数;当x∈(-1,0)时,y是增函数;x∈(0,2)时,y是减函数;当x∈(28、,+∞)时,y是增函数。 (3)当x∈(-∞,-1)时,y是增函数;当时,y是减函数;当时,y是增函数。 11.(1),。 (2),。 (3),。 (4)。 12.(1)y的最大值是8,最小值是-1; (2
6、知的最小值为-27。 从而-27>2-a,故a>29。 点拨.下载可编辑...对于有关恒成立问题,一般思维方式是:a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]的最大值;a7、点为。 4.提示:由y′=0,得切点的横坐标为.下载可编辑... ;又由y=0,得。 5.提示:由,得;由,得。 (1)由,得或; (2)由,得。 6.提示:割线斜率为5,由y′=5,得所求点为(2,5)。 7.(1); (2)dy=2sinxcosxdx; (3); (4)。 8.质点的速度为。 9.(1)由S=0,得,; (2)由S′=0,得,,。 10.(1)当x∈R时,y是减函数。 (2)当x∈(-∞,-1)时,y是减函数;当x∈(-1,0)时,y是增函数;x∈(0,2)时,y是减函数;当x∈(28、,+∞)时,y是增函数。 (3)当x∈(-∞,-1)时,y是增函数;当时,y是减函数;当时,y是增函数。 11.(1),。 (2),。 (3),。 (4)。 12.(1)y的最大值是8,最小值是-1; (2
7、点为。 4.提示:由y′=0,得切点的横坐标为.下载可编辑... ;又由y=0,得。 5.提示:由,得;由,得。 (1)由,得或; (2)由,得。 6.提示:割线斜率为5,由y′=5,得所求点为(2,5)。 7.(1); (2)dy=2sinxcosxdx; (3); (4)。 8.质点的速度为。 9.(1)由S=0,得,; (2)由S′=0,得,,。 10.(1)当x∈R时,y是减函数。 (2)当x∈(-∞,-1)时,y是减函数;当x∈(-1,0)时,y是增函数;x∈(0,2)时,y是减函数;当x∈(2
8、,+∞)时,y是增函数。 (3)当x∈(-∞,-1)时,y是增函数;当时,y是减函数;当时,y是增函数。 11.(1),。 (2),。 (3),。 (4)。 12.(1)y的最大值是8,最小值是-1; (2
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