微分方程数值方法习题二.doc

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1、微分方程数值方法常微分方程初值问题习题一1.对初值问题分别写出Euler法和改进的Euler法的近似解的表达式，并求它们与真解的差.2.取步长，分别用Euler法和改进的Euler法求下列初值问题的解，并与真解相比较.（1）真解；（2）真解；（3）真解.3.用Euler法计算在，0.2的近似值.4.取步长，用四阶Runge-Kutta法解并与真解相比较.1.设关于满足Lipschitz条件，证明N级Runge-Kutta法中的增量函数关于也满足Lipschitz条件.2.对初值问题写出四阶Tay

2、lor级数法和四阶Runge-Kutta法的计算公式，它们是否相同.3.证明改进的Euler法的绝对稳定区间是（-2，0）.4.证明：当满足时，四阶Runge-Kutta法绝对稳定.5.用Tayor展开确定下面多步法中的系数，使其阶尽可能高，并求局部截断误差的主项.（1）；（2）；（3）.10.对初值问题确定求解公式中的系数，，与局部截断误差主项.11.求公式的阶和局部截断误差.12.取步长，用四阶Adams方法的的预测-校正公式（72）解初值问题并与真解相比较.13.讨论下列公式的相容性、稳定

3、性、和绝对稳定性.（1）；（2）.14.求，使线性多步法是相容的和稳定的.15.证明三阶Adams内插公式的绝对稳定区间是（-6,0）.16.证明中点公式（90）是A-稳定的.17.求下列方程组的刚性比.若用四阶Adams内插公式求解时，最大步长应小于多少？（1）（2）18.把下列高阶方程化为一届方程组，并写出它们的Euler公式和四阶Runge-Kutta公式.（1）（2）椭圆型方程的差分法习题三1.用五点差分格式解下列椭圆型方程边值问题.（1）取（真解）；（2）取（真解）；（3）取；（4）取

4、（真解）；（5）取（真解）.2.证明公式（34）.3.证明：对矩形网格，用积分守恒形式（32）导出的差分方程与五点差分格式（8）相同.4.证明三角形网格的差分方程（33）满足条件（36）.5.证明：若，则差分方程的解满足，其中由式（35）定义.6.对椭圆型方程，设，,，证明：（1）五点差分方程的截断误差为；（2）差分方程的系数满足条件（36）.抛物型方程的差分法习题四1.（上机题）对下列定解问题取分别用古典显格式、古典隐格式和Crank-Nicolson格式计算时的近似解，并与精确解比较.1.（

5、上机题）对定解问题取用双层加权平均格式，分别取计算时的近似值，并与精确解比较.2.对于扩散方程（1）试求DuFort-Frankel格式的截断误差.（2）试求加权三层差分格式的截断误差，并证明当时，截断误差的阶最高.（1）试求双向加权对称格式的截断误差.2.试构造变系数抛物型方程的一个二阶精度差分格式.3.证明习题3（2）、（3）中给出的两种差分格式均是绝对稳定的.4.证明求解习题3中的扩散方程的Saul’ev格式(1957)是绝对稳定的（）.5.对于二维扩散方程试证明向后差分格式和Crank-

6、Nicolson格式均绝对稳定（）.8.（上机题）分别用显隐交替的格式1和格式2（跳点格式）计算习题1中的定解问题（取习题1中相同的步长），并与习题1的计算结果进行比较.