资源描述：
《四面体体积公式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1997年第3期数学通报11(a>0,b>0,c>0)的最小值.在教学中,我们从以下几点讨论研究.解作长方体ABCD-A′B′C′D′,使AB=a,BC=b,BB′=c,设BE=x,则y=AE+(1)建模引导学生对实际图形(图4)作出EC′.展开长方体的侧面,使ABB′A′与BCC′B′分析理解,然后建立出数学模型(图5).虽建模难共面,连AC′.度较低,但教学中主要是向学生渗透建模思想,以提高学生的建模能力.(2)提炼此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型题目,是立体几何的基本方法.在教学中加强对
2、基本方法的提炼尤其重要,这也是加强通法教学的具体表现.(图2)(图3)22有ymin=AC′=(a+b)+c.(3)发展在图5中,∠DCH=1,∠DCGxaac=2,∠HCG=3,∠DGH=,引导学生动手导此时有=,即x=.ca+ba+b出等式sin1=sin2sin和cos2=cos1cos3,这通过上二例的求解,加深了学生对长方体的样突出了例题的引伸功能,让学生既动手操作,又理解,使数形结合的思想得到体现,三角、代数中从中汲取了知识,达事半功倍之效.的难点得以突破,且整个求解过程给人以
3、清新流畅之感,艺术般美的享受,让学生回味无穷.(4)升华由等式sin1=sin2sin知sin14注重实例讨论,发挥教材作用4、立体几何》高级中学课本P39例题)说明平面的一条斜线及斜线在平面内的射影与过斜足的该平面内的另一条直线三线所成三角之间的关系,此等式的应用十分广泛,在以后的教学中会经常用到此等式,这便为以后的教学作下“伏笔”、“辅垫”、使例题的作用突出,教材的地位进一步提高.(图4)(图5)四面体的两个体积公式韩绍文席学勤(河南项城市高中466200)本文给出四面体的两个体积公式.定理1如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离是d,所成的角为,那么它的体积是1V=abdsin.612数学通报1997年第3期
5、证明如图,四面体ABCD中,AB=a,CD2226当x=3a-x,即x=a时,体积V有=b,AB与CD的距离为EF=d,它们所成的角2113为.连结AF,BF,则△ABF的面积为ab.最大值a.28过C作CP⊥平面ABF,垂足为P,过D作定理2如果一个四面体的各面都是边长分DQ⊥平面ABF,垂足为Q,连结PQ.∴CP∥2122别为a,b,c的全等三角形,若记S=(a+b+2DQ,CP与DQ确定的平面与平面ABF相交于2c),那么它的体积是PQ,∴PQ必过公共点F.已知EF⊥CD,由三垂1222222V=(s
6、-a)(s-b)(s-c).线逆定理,得EF⊥PQ.又知EF⊥AB,同在平面3ABF内,PQ∥AB,则∠CFP=∠DFQ=.证明如图,∴CP=CFsin,DQ=DFsin,设四面体ABCD的111各面是边长分别为于是VC-ABF=adCP=ad326a,b,c的全等三角CFsin,形,则必有AD=BC1VD-ABF=6adDFsin,=a,AC=BD=b,故四面体ABCD的体积AB=CD=c.取11AB,CD的中点E,V=ad(CF+DF)sin=abdsin.66F,连结EF,EC,1
7、987年全国高考有一道立体几何题是:ED,FA,FB.如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,∵EC=ED,FA=FB,∴EF⊥CD,PA=BC=l,PA,BC的公垂线ED=h.求证三EF⊥AB,EF的长即AB与CD的距离.设EF=12棱锥P-ABC的体积V=lh.6d,AB与CD所成的角为,并设中线EC=m.显然,此题是上述定理的特例.在△ABC中,m2=1(2a2+2b2-c2).4下面举一例说明定222c122理1的应用.在△EFC中,d=m-=(a+b-42例1若四面体的c2).一条棱长为x,其余
8、各棱由异面直线上两点距离公式,得22长都等于定值a.求x为22ccccb=d++±2cois.何值时,这个四面体的体442222a-b1积最大,并求体积最大解得cos=2,则sin=2cc值.4222c-(a-b).解如图,四面体P-ABC中,设BC=x,根据定理1,四面体ABCD的体积V=其余各棱长都为a.取BC,PA的中点D,E,连结121222221cdsin=ca+b-c
