微分几何试题.doc

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1、微分几何试题课程代码：10022一、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。1．曲面的克氏记号是曲面的内蕴量。(　　　)2．曲率挠率分别为不等于零的常数的曲线Γ是圆柱螺线。(　　　)3．曲面S为平面的充要条件是ΙΙ=0。(　　　)4．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为M=0。(　　　)5.可展曲面的平均曲率必为零。(　　　)二、单项选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知曲线=(t)在(t0)点的挠率

2、为τ，曲线在(t0)点附近是右旋的，则τ的值是(　　　)A.-2B.C.-D.-2．曲线=(s)在P(s)点的基本向量为。在P点的曲率为k(s)，挠率为τ(s)，则τ(s)是(　　　)A.B.C.D.3．对曲面的第一基本形式Ι=Edu2+2Fdudv+Gdv2，EG-F2满足(　　　)A.>0B.<0C.≥0D.≤04．在曲面的椭圆点处第二基本量L、M、N满足(　　　)A.LN-M2>0B.LN-M2＜0C.LN-M2=0D.L=M=N=05．F=M=0的充要条件是曲纹坐标网为(　　　)A.正交网B.共轭网C.曲率线网D.渐进网6．曲面上使κn=κg=0的曲线不一定是(　　　)A.直

3、线B.渐近线C.曲率线D.测地线三、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1．向量函数=(t)对任意t有′(t)⊥(t)的充要条件是______。2．已知曲线=(t)在P点的单位切向量为={0,1,0}，单位主法向量={0,0,1}，则曲线在P点的单位副法向量=______。3．已知曲面=(u,v)有=4du2+2dudv+3dv2，则曲面的EG-F2是______。4．曲面=(u,v)上渐近曲线的微分方程是______。5．半径为R的球面的高斯曲率K=______。6．直纹面=(u)+v(u)是可展曲面的充要条件是_____

4、_。四、计算题(本大题共5小题，每小题6分,共30分)1．求曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2的挠率和密切平面。2．求平面族a2x+2ay+2z=2a的包络。3．求曲面z=xy2的第一基本形式。4．求正螺面={ucosv,usinv,bv}的主曲率。5.求曲面∑：={tcosθ,tsinθ,t}的第二基本形式。五、证明题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．如果曲线Γ：＝(s)为一般螺线,、为Γ的切向量和主法向量，R为Γ的曲率半径。证明：=R-也是一般螺线。2．若曲线既是测地线又为曲率线，则曲线是平面曲线。3．证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条

5、曲线的切线。4．证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数,y=常数构成共轭网。