数学物理方法综合试题及答案.doc

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1、复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设，则（　　）A．B．C．D．2．复数的三角表示式为（　　）A．B．C．D．3．设C为正向圆周

2、z

3、=1，则积分等于（　　）A．0　　　B．2πi　　　C．2π　　D．－2π4．设函数，则等于（　　）A．B．C．D．解答：5．是函数的（　　）A．3阶极点　　　B．4阶极点　　　C．5阶极点　　D．6阶极点6．下列映射中，把角形

4、域保角映射成单位圆内部

5、w

6、<1的为（　　）A．　　B．　　C．　　　　D．7.线性变换(）A.将上半平面>0映射为上半平面Imω>0B.将上半平面>0映射为单位圆

7、ω

8、<1C.将单位圆

9、z

10、<1映射为上半平面Imω>0D.将单位圆

11、z

12、<1映射为单位圆

13、ω

14、<18.若在Z平面上解析，，则=（）A.)B.C.D.9.在的罗朗展开式是（）A.B.C.D.10.=（）A.sin9B.cos9C.cos9D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．方程的

15、解为_________________________。12．幂极数的收敛半径为________________________。13．设，则Imz＝______________________。14．设C为正向圆周

16、z

17、=1，则=___________________________。15．设C为正向圆周，，其中，则=___________________。16．函数在点z=0处的留数为__________________。三、计算题(本大题共8小题，共52分)17.计算积分的值，其中C为正向圆周

18、z-1

19、=3。18.

20、函数(n为正整数)在何处求导？并求其导数19.求的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1.20.计算积分的值，其中C为正向圆周

21、z

22、=2.21.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.22.求出在所有孤立奇点处的留数.23.求级数的和函数.24.函数在点为零，用级数展开法指出该零点的级.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)25．利用留数求积分的值26．设Z平面上的区域为，试求下列保角映射（1）把D映射成W1平面上的角形域；(2)把D1映射

23、成W2平面上的第一象限;（3）把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;（4）把D映射成G。27．利用拉氏变换解常微分方程初值问题：综合试题（一）答案一、1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.B8.D9.D10.A二、11．或　　12．e13．0　　　14．4πi　　15．或16．6三、17．解：因在C内有二阶级点z=I，所以18.解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..19．解1：，　　　　　由C－R条件，有，　　　　　。　　　　　　　　　　　再由，得，于是，　　　　。　　　　　　　　　　　　　　　　　

24、　　　由得。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　故　　　　　　解2：以下同解1。20．解1：　　　　　　　　　。　　　　　　　解2：　　　　　　　　　　　　。　　　　　　21．解：因为，（2分）　　　　所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得22.解：函数有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式：故23.解：故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：24.解：故z=0为f(z)的15级零点四、25.解：在上半平面内，有一阶极点z=i和z=3i。　　　　，　　　　，　　　，　。　26.解：（1）由解得交点

25、z1+1,z2=-1。　　　　　　　　　　　设，则它把D映射成W1平面上的（2）设，则它把D1映射成　　　　　　　　　W2平面上的第一象限。　　　　　　　（3）设，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw>0。　　（4）。　　　　　　　　　　　(Z)1-10-ii(W1)0(W)0(W2)027.设，对方程两边取拉氏变换，有，从中解得　　　　　　再求拉氏逆变换，得　　　　　　　　=1-et或利用卷积定理得到　　　－＝－1*et=1-et