数学分析习题.doc

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1、第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集1．设是平面点列，是平面上的点.证明的充要条件是，且.2．设平面点列收敛，证明有界.3．判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；6．设是平面点集.证明是的聚点的充要条件是中存在点列，满足且.9．设是平面点集，如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖，则称是紧集.证明紧集是有界闭集.10．设是平面上的有界闭集，是的直径，即.求证：存在，使得.§2多元函数的极限与连续性1．叙述下列定义：(1)；(2)；(3)；(4).2．求下列极限（包括非正常

2、极限）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14).3．讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5．叙述并证明存在的柯西收敛准则.6．试作出函数，使当时，(1)全面极限和两个累次极限都不存在；(2)全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；(3)全面极限和两个累次极限都存在.7．讨论下列函数的连续范围：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)(7)；(8

3、)(9).8．若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意和，有，其中为常数，求证在内连续.9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10．设二元函数在全平面上连续，，求证：(1)在全平面有界；(2)在全平面一致连续.11．证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，则是二元连续函数.12．证明：若是有界闭域，是上的连续函数，则是闭区间.