数学奥林匹克竞赛训练题：几何部分（2）平面几何计算.doc

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1、数学奥林匹克竞赛训练题：几何部分（2）平面几何计算C2－001设P是正方形ABCD内的一点，满足PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB．【题说】1979年内蒙古区赛二试题4．【解】作点Q，使CQ=PA，BQ=PB．再连PQ，显然△APB≌△BQC，故∠APB＝∠BQC∠ABP＝∠CBQ因而△PBQ是等腰直角三角形．且PQ2=PB2=8PA2，因此PC2=9PA2=PQ2＋CQ2于是△CPQ是直角三角形，故∠APB＝∠BQC＝∠CQP＋∠PQBC2－002设N是正九边形，O为其外接圆圆心，PQ和QR是N的两个邻边．A为PQ的中点，B为垂直于QR

2、的半径的中点．试求AO与AB的夹角．【题说】1992年澳大利亚数学奥林匹克题1．【解】设C为垂直于QR的半径与外接圆的交点，则△POC为等边三角形，从而PB⊥OC；又因PA⊥OA，所以A、B、O、P四点共圆．故∠OAB=∠OPB＝30°．C2－003如图，在等腰△ABC中．AC=BC，∠ACB=40°．在三角形的外部取一点M，使∠MAB=20°，∠MBA=40°，求∠MCB．【题说】1992年友谊杯国际数学竞赛八年级题3．【解】不妨设AC=BC=1，则由余弦定理知AB=2sin20°．再由正C2－004锐角△ABC的外心为O．线段OA，BC的中

3、点分别为M、N．∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN．【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题3．【解】如图，设∠OMN=θ，则∠ABC＝4θ，∠ACB＝6θ，∠BAC＝180°－10θ，∠NOC＝∠BOC／2＝∠BAC＝180°－10θ，∠MOC=2∠ABC＝8θ．从而∠MON=8θ＋（180°－10θ）＝180°－2θ∠ONM＝180°－（∠MON＋∠OMN）＝θ－∠OMN所以∠OMN为等腰三角形．从而ON＝OM＝OA／2＝OC／2．故∠NOC＝60°＝180°－10θ，θ＝12°．C2－005一直线与正六边形ABCDE

4、F相交，截出一个△AKN，其中AK＋AN＝AB．试求∠KAN＋∠KBN＋∠KCN＋∠KDN＋∠KEN＋∠KFN等于多少度？【题说】第五十八届（1995年）莫斯科数学奥林匹克八年级题6．【解】不妨设点N位于边AB上．点K位于边AF上，由于AK＋AN=AB．故FK=AN．分别在边BC、CD、DE、EF上取点P、R、S、T．使得FK=AN=BP=CR=DS=ET（见图）．于是∠KBN=∠TAK∠KCN=∠SAT∠KDN=∠RAS∠KEN=∠PAR∠KFN=∠NAP所以∠KAN+∠KBN＋∠KCN+∠KDN＋∠KEN＋∠KFN=∠KAN＋∠TAK＋∠S

5、AT+∠RAS＋∠PAR+∠NAP=∠KAN＋∠KAN＝2×120°＝240°C2－006锐角△ABC的高AA1、BB1和CC1的中点分别是A2、B2和C2，求∠B2A1C2、∠C2B1A2与∠A2C1B2之和．【题说】第二十一届（1995年）全俄数学奥林匹克九年级题6．【解】设M是AB边的中点．线段MA2和MB2分别是△AA1B和△AB1B的中位线，由此得∠A2MB2=∠ACB设H为△ABC的垂心，则∠HC1M=∠HA2M=∠HB2M=90°，所以M、A2、H、B2、C1都在以HM为直径的圆上，所以∠A2C1B2=∠A2MB2=∠ACB同理∠

6、B2A1C2=∠BAC，∠C2B1A2=∠CBA所以所求的三个角之和等于△ABC三内角之和，即180°．C2－007设△ABC是一个等腰三角形，其中AB＝AC．假如∠B平分线交AC于D，且BC＝BD＋AD．求∠A度数．【题说】第二十八届（1996年）加拿大数学奥林匹克题4．【解】在BC上取BE=BD．则EC=AD．由分角线定理，有又∠C公用，故△ABC∽△EDC．设∠ABD＝∠CBD＝α，则∠CDE＝∠DCE＝2α∠BDE＝∠BED＝4α从而9α＝180°，α＝20°∠A＝∠CED＝5α＝100°C2－009作三边长为a、b、c的三角形ABC的

7、内切圆．又作三条分别平行于这三角形各边的圆的切线．这三条切线从三角形ABC中截得三个新的三角形，再在每个新的三角形中作内切圆，计算这四个圆的面积和．【题说】第六届（1964年）国际数学奥林匹克题3．本题由南斯拉夫提供．【解】考虑一个截得的三角形；比如△APQ．（如图）因△APQ∽△ABC，所以其中ra为△APQ的内切圆半径．因此，所求面积和为（Δ，s分别为△ABC的面积与半周长）C2－010凸四边形ABCD的边AD和BC延长相交于E．设H和G分别是BD和AC的中点．求△EHG的面积对四边形ABCD面积的比．【题说】第十届（1978年）加拿大数学

8、奥林匹克题4．【解】连AH、CH，有S△EGH＝S△ECH－S△GCH－S△EGC因此S△EHG∶SABCD=1∶4．C2－011A、B、C三点共线并