数学物理方程_ 复习.doc

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1、复习题型一、根据物理过程写出相应的定解问题。习题一、1，2，例1、长度为l的弦左端开始时自由，以后受到强度为的力的作用，右端系在弹性系数为k的弹性支承上面；初始位移为初始速度为试写出相应的定解问题。解这是弦的自由振动，其位移函数满足其中.由于左端开始时自由，以后受到强度为的力的作用，所以因此又右端系在弹性系数为k的弹性支承上面，所以即而初始条件为因此，相应的定解问题为例2、一长为l的均匀细杆，侧面绝热，一端放入水中，另一端裹以石棉，杆的初始温度为试写出杆的温度分布函数所满足的定解问题。题型二、求特征值问题。例3、求下列特征值问题的特征值和特征函数.（1）（2）（3）

2、（4）（4）题型三、用分离变量法求齐次方程齐次边界条件的定解问题。第二章第一节、例2；第二节；第三节习题二、1，2，3，4，5，6，7习题二、13，17习题二、18例4、写出求解的全过程（计算Fourier系数时，只要求写出表达式，不计算出具体数据）。解令，代入方程（1）中，得（4）（5）由条件（2），得（6）求解固有值问题（5）（6），得固有值与固有函数分别为，将代入方程（4），得从而得于是得满足齐次方程（1）与齐次边界条件（2）的一组特解由于方程（1）与条件（2）都是齐次的，因此仍满足（1）与（2），由条件（3），得于是题型四、特征函数法。第二章第四节习题二、8

3、，9，22题型五、分离变量法中非齐次边界条件的处理。习题二、8，9，10，11，15§2.5例1例5、求下列定解问题的解：例6、求下列定解问题的解：题型六、利用波动方程的通解解题。例7、求解波动方程的Goursat（古沙）问题其中，与是充分光滑的函数。例8、证明方程（为大于零的常数）的通解为其中是二次连续可微的任意函数。题型七积分变换法第73页例1.第75页例2.例9、用积分变换法求解问题其中h是正常数，b是常数。（附1：2：若则）解在方程两边关于t作Laplace变换，且记，则解之得在边界条件两边关于作Laplace变换，则由，得又由得所以对上式两边取逆变换，得＝

4、例10、用积分变换法求解问题题型八求非齐次方程初值问题的解习题三、2、求下列初值问题的解解根据迭加原理，原定解问题可分解为（Ⅰ）与（Ⅱ）由D’Alembert公式知问题（Ⅰ）的解问题（Ⅱ）的求解可转化为先求问题即其中.由D’Alembert公式得根据齐次化原理，知（Ⅱ）的解因此，原问题的解为例11、求下列初值问题的解解根据迭加原理，原定解问题可分解为（Ⅰ）与（Ⅱ）由D’Alembert公式知问题（Ⅰ）的解问题（Ⅱ）的求解可转化为先求问题即其中.由D’Alembert公式得根据齐次化原理，知（Ⅱ）的解因此，原问题的解为