各向同性材料弹性常数间的关系推导.doc

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1、*§8－8各向同性材料弹性常数之间的关系在建立应力和应变间的关系时，对于各向同性材料，引用了三个弹性常数，它们是E、G、μ。§3－3中曾经提到，三个弹性常数之间存在着以下关系(8-21)现在就证明这个关系。图8－22变一纯剪切应力状态下的单元体。根据倒8－3的分析，主应力σ1存在于α0＝－45°的主平面上，σ3存图8－22在于α0＝－135°的主平面上，且σ1＝－σ3＝τ。将σ1和σ3代入公式（8－18）(8－18)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定律）并令σ2＝0，得出σ1方向的线应变为(a)此外，由剪切胡克定律，可以求得直角的剪应变为（b）对单

2、元体abcd来说，由于，故有。将所求出的、、代入公式（8－11），（8－11）（平面应变状态分析），并令，再次求得沿σ1方向的应变为将（b）式代入上式，得（c）令（a）,(c)两式相等，便可得到需要证明的关系式，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以上关系式，也只适用于各向同性材料。以上参考《材料力学》刘鸿文主编第二版上册§8－9复杂应力状态下的变形比能这一章能过变形比能推导。如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式。于是三向应力状态下的应变能为，以应变的广义胡克定律（8－18）代入上式，整理得8-24以上参考《材料力学》刘鸿文主

3、编第三版上册