首届全国大学生数学竞赛决赛数学类试卷.doc

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1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类，2010）考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.一、填空题（共8分，每空2分.）(1)设，则=_____________.(2)若关于的方程在区间内有惟一实数解，则常数_____________.(3)设函数在区间上连续.由积分中值公式有.若导数存在且非零，则的值等于_____________.(4)设，则=_____________.二、（10分）设在内有定义，在处可导，且.证明:.三、（12分）设在上一致连续，且对于固定的,当自然数时.证明:函数序列在上一致收敛于0.四、（12分）设，在内连续，在内连续有界，且满足条件

2、：(1)当时，；(2)在中与有二阶偏导数，,.证明：在D内处处成立.五、（10分）设.考虑积分，，定义.（1）证明；（2）利用变量替换：计算积分I的值，并由此推出.六、（13分）已知两直线的方程：，.（1）问：参数满足什么条件时，与是异面直线？（2）当与不重合时，求绕旋转所生成的旋转面的方程，并指出曲面的类型.七、(20分)设均为阶半正定实对称矩阵，且满足.证明:存在实可逆矩阵使得均为对角阵.八、(15分)设是复数域上的维线性空间，()是非零的线性函数,且线性无关.证明:任意的都可表为,使得，.