高中数学解三角形最值.doc

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1、三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC中，分别是内角的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1)求角A的大小；（2）求的最大值.变式

2、1：已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.(1)求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+b—c=ab=2abcosC所以cosC=，从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时，的最大值是变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中，若有2R（sinA—sinC）=（a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值。解：根据题意得：2R(—)=(a—b)*化简可得c=a+b—ab,由余弦定理可得：C=45,A+B=135S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135—A)=(

3、sin(2A+45)+1∵0

4、inC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=∴B=60∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9＝a+c-2accos60∴9＋ac=a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=∴三角形得面积的最大值是变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是答案：解法1.由a=2,c=1

5、,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=sinA≤∵0

6、＋

7、＝2，求·的取值范围．解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵

8、＋

9、＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB

10、＝－cos2C，＜C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B3、在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=。（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）

11、得：又由正弦定理，得：所以4.在中，角，，所对应的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值．5.在中，分别为内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；.（Ⅱ）若，试判断的形状.等腰三角形6．（2012陕西）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（C）A.B.C.D.7.(2014新标1)已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.【解析】由且，即，由及正弦定理得：∴，故，∴，∴，∴，8.（2012安徽文）设的内角所对的边为，且有（Ⅰ）求角的大小；学（II）若，，为的中点，求的长。【答案】（Ⅰ）；（II）9.(2014新

12、标2文)四边形的内角与互补，.（1）求和；（2）求四边形的面积.【答案】（I），。（Ⅱ）10.（2013湖北）在△中，角，，对应的边分别是，，.已知.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值.【简解】（Ⅰ）由，得，解得或（舍去）