信号与系统习题答案第三章.doc

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1、第三章习题基础题3.1证明,,…,(n为正整数)，在区间的正交集。它是否是完备集解：(积分???)此含数集在为正交集。又有不属于此含数集，对于所有的m和n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。3.2上题的含数集在是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间内是正交的。3.3实周期信号在区间内的能量定义为。如有和信号若与在区间内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;若与不是相互正交的，求和信号的总能量。解：和信号f(t)的能量为（少乘以2）由与在区间内正交可得则有即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。和信号的能量为（少乘以2吧？）

2、由与在区间内不正交可得则有即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。3.4求下列周期信号的基波角频率和周期T。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：角频率为＝，周期角频率为，周期角频率为，周期（先求T，后求omg吧？）角频率为，周期角频率为，周期角频率为，周期3.5用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。解：周期，则有（k是整数；怎么求的边界条件？）由此可得（X？）周期T=2，，则有由此可得：（积分？3.6如图所示是4个周期相同的信号用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数（三角形式）；

3、将图（a）的函数左（或右）移，就得图（b）的函数，利用的结果求的傅里叶级数；利用以上结果求图（c）的函数的傅里叶级数；利用以上结果求图（d）的信号的傅里叶级数；解：由的波形可知令，则有则的傅里叶级数为由和的波形图可知或则的傅里叶数为由的波形可知则的傅里叶级数为有的波形可知则的傅里叶级数为3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量解：（1）由的波形求得的波形则奇分量的波形为=偶分量的波形为=（2）由的波形求得的波形则奇分量的波形为=偶分量的波形为=3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。解：（1）由的波形可知==则有则的傅里

4、叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（1）由的波形可知则有则的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。（2）由的波形可知则有即的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（3）由的波形可知，为奇谐函数，即则有即的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。3.9如图的周期性方波电压作用于电路，试求电流的前五次谐波。解：由的波形图可知周期，则有由此可得傅立叶级数的系数因为偶数，则则电路激励的前五次谐波为由电路得系统微分方程为欲求电流的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。设代入上面微分方程比较两边系数可得则电流的前五次谐波为3.10求

5、图示各信号的傅立叶变换。解：（a）由的波形可知则的傅立叶变换为（b）由的波形可知则的傅立叶变换为（c）由的波形可知则的傅立叶变换为（d）由的波形可知则的傅立叶变换为3.11根据上题（a）（b）的结果，利用傅立叶变换的性质，求下图所示各信号的傅立叶变换。解：(a)令，由上题可知其傅立叶变换为由的波形可知由傅立叶变换的性质可知的傅立叶变换为(b)令，由上题可知其傅立叶变换为由的波形可知则由傅立叶变换的性质可知，的傅立叶变换为(c)由的波形可知则由傅立叶变换的性质可知，的傅立叶变换为(d)令，由前题可知其傅立叶变换为由的波形可知由傅立叶变换的性质可

6、知，（e）由的波形图可知则的傅立叶变换为(f)由的波形图可知则的傅立叶变换为3.12若为虚函数，且，试证⑴⑵解：令，为t的实函数，则有式中频谱函数的实部和虚部为则有即由上面结果可知3.13若为复函数，可表示为且的频谱函数为。式中、均为实函数，证明：⑴⑵解：⑴而，则有⑵由，，可知由，利用傅立叶变换的线性性质可得3.14据傅立叶变换对称性求下列函数的傅立叶变换⑴⑵⑶解：⑴由于宽度为，幅度为1的门函数的频谱函数为，即取幅度为，根据傅立叶变换的线性性质有即注意到是偶函数，根据对称性可得根据时移性和尺度变换可知由，可知⑵由于可知即的傅立叶变换为⑶由于根

7、据对称性可知根据频域卷积性质，可得又有3.15求下列信号的傅立叶变换⑴⑵⑶⑷⑸解：⑴已知由时移性质可得再由频移性质可得的傅立叶变换⑵又由时移特性可知的傅立叶变换为⑶又则有⑷⑸由利用时移特性可得再由尺度变换特性可得即的傅立叶变换为3.16试用时域微积分性质，求图示信号的频谱。解：（1）由的波形可得其闭合表达式为由此可得又有可得则有当时上式值为0，则有⑵由的波形可得其闭合表达式为由此可得又有可得则有当时，上式为0，则有3.17已知，试求下列函数的频谱：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼解：⑴根据频域微分特性可知则有根据尺度变换特性可得则可得⑵根据频域微分特性可得

8、则有由傅立叶变换的线性性质可得⑶由时域微分特性可得又由频域微分特性可得则有⑷由反转特性可得又由时移特性可得即⑸由频域微分特性可得由反转特性可得又由时移性质可得到即⑹