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1、§8.2数量积向量积*混合积两向量的数量积两向量的向量积两向量的混合积2011.2.68-2-1北京工商大学实例定义一、数量积1.定义数量积向量积*混合积一物体在常力作用下沿直线从点表示位移,所作的功为移动到点向量数量积2011.2.62北京工商大学结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.重要(两向量的数量积的几何意义)数量积向量积*混合积2011.2.63北京工商大学注关于数量积的说明：证(1)(2)(1)数量积向量积*混合积2011.2.64北京工商大学证此时
2、也称(2)与正交.说明Þ互相正交、、kjirrr数量积向量积*混合积2011.2.65北京工商大学2.数量积符合下列运算规律（1）交换律：（2）分配律：（3）若λ为数若λ、μ为数：(可用定义证)数量积向量积*混合积2011.2.66北京工商大学向量的数量积不满足消去律,向量的数量积是否满足消去律？注事实上,注?平行于的向量≠平行于的向量即在一般情况下,数量积向量积*混合积2011.2.67北京工商大学用向量的数量积,证明恒等式:即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).证练习数量积向量积*混
3、合积2011.2.68北京工商大学设数量积的坐标表达式3.用坐标表示式计算数量积分配律数量积向量积*混合积2011.2.69北京工商大学两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为4.两向量的夹角(数量积在几何中的应用)数量积向量积*混合积2011.2.610北京工商大学解例求数量积向量积*混合积2011.2.611北京工商大学证(由分配律)例证明向量与向量垂直.数量积向量积*混合积2011.2.612北京工商大学实例1.定义二、两向量的向量积设O为一根杠杆L的支点,有一个力作用于这杠杆上P
4、点处.对支点O的力矩是一向量它的模为力力的方向垂直于所决定的平面,指向符合右手系.与OP的夹角为数量积向量积*混合积2011.2.613北京工商大学定义关于向量积的说明//大小数量积向量积*混合积向量向量积的方向既垂直于又垂直于指向符合右手系.方向2011.2.614北京工商大学2.向量积符合下列运算规律(2)分配律(3)若为数证////(1)反交换律数量积向量积*混合积//2011.2.615北京工商大学向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足交换律？向量的向量积不满足消去律,向量的向量积不满足
5、交换律.注注即在一般情况下,数量积向量积*混合积2011.2.616北京工商大学设向量积的坐标表达式3.用坐标表示式计算向量积分配律数量积向量积*混合积2011.2.617北京工商大学数量积向量积*混合积向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出向量积的几何意义说明不能同时为零,但允许两个为零.表示以为邻边的平行四边形的面积.//2011.2.618北京工商大学解例求与都垂直的数量积向量积*混合积单位向量.2011.2.619北京工商大学解三角形ABC的面积为例已知三角形的顶点计算从顶点B到边AC的高的
6、长度BD.数量积向量积*混合积2011.2.620北京工商大学求同时垂直于向量和x轴的单位向量.两种方法:法二练习法一解用向量积.设x轴为单位向量为用数量积.即可得.提示用向量积或数量积.数量积向量积*混合积2011.2.621北京工商大学定义设混合积的坐标表达式三、*向量的混合积设已知三个向量、、数量称为这个向量的记为混合积,数量积向量积*混合积2011.2.622北京工商大学向量混合积的几何意义关于混合积的说明：(1)(2)(3)向量的混合积是这样的一个数,它的绝对值表示以向量为棱的平行六面体的体积
7、.数量积向量积*混合积2011.2.623北京工商大学解例已知计算数量积向量积*混合积2011.2.624北京工商大学解由立体几何知,四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体的体积的六分之一.已知空间内不在一平面上的四点A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),求四面体例的体积.数量积向量积*混合积2011.2.625北京工商大学式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.数量积向量积*混合积2011.2.626北京工商大学向量的数量积向量的向量积向量的混合
8、积结果是一个数量、结果是一个向量、结果是一个数量、几何意义、三向量共面四、小结几何意义、物理意义、两向量垂直的充要条件；几何意义、物理意义、两向量平行的充要条件；的充要条件.数量积向量积*混合积2011.2.627北京工商大学下列命题是否正确错,错.对.等式左边没意义.错.数量积向量积*混合积2011.2.628北京工商大学解注:分配律例数量积向量积*混合积2011.2.629北京工商大学下列命题是否正确错对数量积向量积*混合积2011.2
