专题复习-“隐形圆”问题.doc

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1、“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．-6

2、离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解．（2）（2016年南京二模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为．解：由题意得OP=2，所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点，因此有2-1

3、2+(y-4)2=1上的动点，则PA+PB的取值范围是．[7,13]1略解：取AB的中点M，则C1M=21，所以M在以C1圆心，半径为2的圆上，且PA+PB=2PM，转化为两圆上动点的距离的最值．（4）若对任意aÎR，直线l：xcosa＋ysina＝2sin(a＋p)＋4与圆C：(x－m)2＋(y－3m)26＝1均无公共点，则实数m的取值范围是．(-1,5)22略解：直线l的方程为：(x-1)cosa＋(y-3)sina＝4，M(1,3)到l距离为4，所以l是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含．00注

4、：直线l：(x-x0)cosa＋(y-y0)sina＝R为圆M：(x-x)2+(x-y)2=R2的切线系．例2（2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．解：法一（标解）：设BC的中点为M(x,y)，因为OB2=OM2+BM2=OM2+AM2，y所以4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2，BMC22化简得æx-1ö+æy-1ö=3，Aç2÷ç2÷2èøèøOxç2，÷所以点M的轨迹是以æ11ö为圆心，32为半径的2èø

5、é6-圆，所以AM的取值范围是22，6+2ù，所ê22ú例2ëû以BC的取值范围是é6-2，6+2ù．ëû法二：以AB、AC为邻边作矩形BACN，则BC＝AN，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有OB2+OC2=OA2+ON2，所以ON＝6，故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是é6-2，6+2ù．ëû变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=16，点P(1,2)，M、N为圆O上两个不同的点，且PM×PN=0

6、，若PQ=PM+PN，则PQ的最小值为．33-5y2222变式2已知圆C1：x+y=9，圆C2：x+y=4，定点AP(1,0)，动点A,B分别在圆C1和圆C2上，满足ÐAPB=90，则线段AB的取值范围．[23-1,23+1]BOPx变式3已知向量a、b、c满足a=3,b=2,c=1,(a-c)×(b-c)=0，则a-b范围为．[23-1,23+1]策略二动点P对两定点A、B张角是900（kPA×kPB=-1，或PA×PB=0）确定隐形圆例3（1）（2014年北京卷）已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(

7、-m,0)，B(m,0)，若圆上存在点P，使得ÐAPB=90，则m的取值范围是．[4,6]略解：由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−1，0)，Q(2，1)，直线l：ax+by+c=0其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是．[2,32]解：由题意，圆心C(1，－2)在直线ax＋by＋c＝0上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a．直线l：(2a－b)x＋(2b－c)y＋(2c－a)＝0，即a(2x＋y－3)＋b(4

8、－x)＝0，ì2x+y-3=0,由íî4-x=0，可得x＝4，y＝－5，即直线过定点M(4，－5)，由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A(5，2)，方程为(x－5)2＋(y－2)2＝50，∵

9、CA

10、＝42，∴CH最小为52－42＝2，CH最大为42＋52＝92，∴线段C