高等数学教学教学教案（同济六版）11-1 对弧长地曲线积分.ppt

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1、第一讲对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用一、对弧长的曲线积分的概念（一）引例（二）对弧长的曲线积分的定义一、对弧长的曲线积分的概念（一）引例（二）对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量分割:求和:取极限:取近似:线密度设有一曲线形构件占有xoy面内一段曲线弧L曲线形构件的质量:?一、对弧长的曲线积分的概念（一）引例

2、（二）对弧长的曲线积分的定义一、对弧长的曲线积分的概念（一）引例（二）对弧长的曲线积分的定义定义被积函数积分弧段弧微分并作和设为面内的一条光滑曲线弧,函数在上有界.设第i个小段的长度为在L上任意插入一点列把L分成n个小段.作乘积又为第i个小段上任意取定的一点,如果当各小弧段的长度的最大值时,这和的极限总存在,即则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线形构件的质量:注(1)(2)函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,存在函数f(x,y

3、,z)在空间曲线弧Γ上对弧长的曲线积分函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用线性性质可加性不等式在L上特别地物理意义与方向无关对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧

4、长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为定理其中上具有一阶连续导数,且在则曲线积分且存在,注(1)对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!(2)化为定积分中的三个变化在上述公式中,下限α一定小于上限β.L[α,β]f(x,y)(3)口诀:变量参数化、一小二起下.(4)特例(1)L：(2)L：推广空间曲线弧Γ：对弧长的曲线积分解题思路明确L的方程化为定积分明确选择参数方程三变、一注意积分弧段L被积函数弧长元素一点注意[α,β]下限一定小于上

5、限计算定积分确定参数范围对弧长的曲线积分解题思路明确L的方程化为定积分计算定积分对弧长的曲线积分解题模板L:…明确选择确定…α≤t≤β参数范围必写!建议事先求出,可视情省略由得…L的方程为:…∴L的方程为:…ds=…计算其中L是抛物线上点与之间的一段弧.例1例2其中L为圆周直线及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.计算例3计算其中为连接与的直线段.注可视情将L的方程代入被积函数!利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算L关于x轴对称L关于y轴对称类似L关于y=x对称利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算L关于x轴对称L关于

6、y轴对称类似L关于y=x对称例4计算其中L为对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的应用曲线弧的质心曲线弧的转动惯量例5计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设线密度μ=1）.αxoyRL