专题一数列通项的求法.ppt

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1、数列通项的求法由前面的学习我们知道，表示数列的方法是多种多样的，如可用通项公式表示；也可用数列的前n项和与通项和项数n的关系式表示；还可用初始项和递推关系式表示等.本节主要讨论用后两种方法表示的数列的通项公式的求法.一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．二、归纳法这种方法是由已知数列的前几项，归纳猜出数列的通项.这类问题无固定模式，但有规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法.我们推证等差、等比数列的通项公式时就用的是这种方法.当然，这种方法求出的通项往还需

2、要证明.例1根据下面数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(3)三、利用与通项（或项数n）的关系式求通项.若数列的前项和为，则要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．例2已知下面各数列的前n项和的公式，求的通项公式.⑴;⑵;⑶例3若数列满足，，求解：两式相减得∴∴另外，还有递推求和（积）法，如等差、等比数列的通项公式的推证.例3亦可用递推求积法.四、由递推公式求通项先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化得到数列普遍的递推关系再用代数方法通过递推关系求出通项公式.类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为　　　　　　　，利用迭加法(逐差相加法)求解.例4在数列　　中，　　

3、，,求.练习：已知数列　　满足　　，　　　　　，求.类型2递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用迭乘法(逐商相乘法)求解.例5已知数列满足，，求.练习：已知数列满足，，求.类型3或这种类型一般可化为与是等差或等比数列求解.(2)在数列中,,,求.例6(1)在数列中,,,求;类型4构造辅助数列法　原数列既不是等差数列，也不是等比数列.若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等差、等比数列，从而求出.该法适用于递推式形如　　　　　　或　　　　　或,（其中p，q,r均为常数）　　为一次式.型例7若数列满足，，求.解法1（归纳法）例7若数列满足，，求.解法2（迭代法）解法3（

4、阶差法）两式相减得，令，则，，数列是以为首项，为公比的等比数列.解法4（辅助数列法）①设，其中，是A待定系数，则，与①式比较得令，则，数列是以-1为首项，为公比的等比数列.注：递推公式为　　　　　　（c、d为常数）的数列是一类常见的数列，称之为线性递推数列.当　　　　　时它是常数列；当　　　　　　时它是等差数列；当　　　　　时它是等比数列；凡这一类数列均可用归纳法、迭代法、阶差法或待定系数法求通项公式，其中由归纳法得出通项公式后还需用数学归纳法证明；阶差法的实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列等比数列的问题，通过对辅助数列的求和而得到原数列的通项公式，这

5、一方法充分体现了数学中的换元思想和转化思想；而待定系数法则是通过待定系数来确定递推关系的另一种变形方式，按照这一方式进行通项换元，引入辅助数列，只要写出新数列的通项公式，即可求得原数列的通项公式，这里同样体现了数学中的换元思想和转化思想，而解题显得更为简捷.练习：（1）数列　满足，　，求.（2）设数列的首项，,求.（3）已知数列各项均为正，,求数列的通项公式.型即令　　　　　　　　　　　　　与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为是公比为p的等比数列.例8已知数列中，点在直线上，求数列的通项公式.练习：在数列中，，，求通项.型先在原递推公式两边同除以，得　　　　　　　　引入辅助

6、数列　（其中　　），得：.当p=q时将递推式两边同时除以　　得　　　　从而转化为　是公差为的等差数列.例9已知数列中，，,求.练习：（1）设数列的前n项和,求（2）已知数列前n项和,求.类型5递推公式为　（其中p、q均为常数）.解法：先把原递推公式转化为　　　　　　　　　　　其中s，t满足　　　，再应用前面类型4的方法求解.例10已知数列　中，,,，求.（2）求数列的通项公式.练习：已知数列满足（1）证明：数列是等比数列；类型6周期型例11已知数列满足，，求.类型7取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易

7、求得，从而间接求出.例12若数列满足，，求.练习：⒈设正数列满足，，求数列的通项公式.（取对数）⒉数列满足,求.（相减，）⒊已知数列满足，其中是数列的前n项和，求.⒋正项数列中，与2的等差中项等于与2的等比中项，求数列的通项公式.