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1、线性代数机动目录上页下页返回结束教学目的：通过本节的教学使学生更深刻理解方阵相似对角矩阵的内涵,了解不能相似于对角矩阵的方阵可相似于Jordan标准形.教学要求：正确理解Jordan标准形的概念，掌握求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法.教学重点：求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法.教学难点：化方阵为Jordan标准形.教学时间：2学时.机动目录上页下页返回结束*§6Jordan标准形简介第五章*§6Jordan标准形简介我们在讨论方阵的对角化时知道,并不是所有的方阵都能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关系下的最简形是否存在?如果存在又取何种形式？Jo
2、rdan标准形的相关结果就完美地回答了这一问题.Jordan标准形理论的建立需要较多的其它代数知识.限于需要和可能，我们仅从实用的角度介绍Jordan标准形理论的主要结果及Jordan标准形的具体求法.6.1多项式矩阵及其初等变换定义6.1如果矩阵中每个元素都是变量λ的多项式，则称该多项式为λ的多项式矩阵，简称λ-矩阵.元素是数的矩阵称为数元矩阵，数元矩阵是特殊的多项式矩阵.第五章机动目录上页下页返回结束定义6.2对多项式矩阵A(λ)的如下三种变换统称为初等变换.i）用一个非零数k乘A(λ)的某行（列）；ii）将A(λ)中的某行(列)的g(λ)倍加于另一行(列)(其中g(λ)是的λ多项式)；
3、iii）互换A(λ)的两行(列).定义6.3设A(λ)和B(λ)是两个同型的多项式矩阵，如果A(λ)可以经过有限次初等变换化为B(λ)，则说A(λ)与B(λ)等价，记作A(λ)B(λ).对于n阶数元矩阵A，其特征矩阵λE-A是一个特定的多项式矩阵.关于特征矩阵有如下的结论.机动目录上页下页返回结束定理6.1对于n阶数元矩阵A，总有其中g1(λ),g2(λ),…,gn(λ)都是首项系数为1的多项式.并且
4、λE-A
5、=g1(λ)g2(λ)…gn(λ).（*）由于λE-A经过有限次的初等变换得到G(λ)，根据初等变换对矩阵相应行列式的影响，可知
6、G(λ)
7、与
8、λE-A
9、最多相差非零常数倍.再注意到
10、
11、G(λ)
12、与
13、λE-A
14、都是首项系数为1的多项式，便知（*）成立.机动目录上页下页返回结束定义6.4对于n阶数元矩阵A，设λE-A经过初等变换化为对角矩阵G(λ).将g1(λ),g2(λ),…,gn(λ)中的每个非常数多项式做复数域上的标准分解，各分解式中的每一个一次因式方幂称为矩阵A的一个初等因子，初等因子的全体成为A的初等因子组.例如，对于2阶数元矩阵A，若有则A的初等因子组为λ，λ-1，λ，(λ-1)2.机动目录上页下页返回结束由定义6.4及（*）知：1）方阵A的所有初等因子的乘积就是A的特征多项式；2）每个初等因子都和矩阵A的某个特征值相应，即如果是A的一个初等因子,则λi一定是A
15、的一个特征值；3）n阶方阵A的所有初等因子幂次之和恰为n.在此必须指出:方阵A与某一特征值相应的初等因子未必只有一个.因此,一般不能从A的特征多项式的标准分解式直接得到初等因子组为为求给定方阵A的初等因子组，需要对特征矩阵λE-A进行适当的初等变换将其化为对角矩阵.这样的对角矩阵并不惟一.由此会不会导致初等因子组的不同呢？可以证明，在不计各初等因子组相互次序的意义下，给定方阵A的初等因子组是惟一的，不会因为λE-A所化成的对角矩阵不同而有所改变.机动目录上页下页返回结束例6.1求矩阵的初等因子组.解对λE-A进行初等变换如下：由此得A的初等因子为：(λ-1)2,λ-5.机动目录上页下页返回结
16、束6.2矩阵的Jordan标准形定理6.2在复数域上,如果n阶矩阵A的全部初等因子为则其中定理6.2中的分块对角矩阵J称为A的Jordan标准形,简称为Jordan形.Jordan形J中的各个小块J1,J2,…,Js称为Jordan块.显然,每个Jordan块Ji恰于A的一个初等因子相对应.在例6.1中，矩阵A的初等因子组为(λ-1),λ-5,与之相应的两个Jordan块为于是A的Jordan标准形为亦可以写成机动目录上页下页返回结束例6.2求矩阵的Jordan标准形.解对A的特征矩阵λE-A进行初等变换化为对角矩阵，机动目录上页下页返回结束与两个初等因子相应的Jordan小块分别为对所得的
17、对角矩阵主对角元素的非常数多项式进行复数域上的标准分解，可得A的初等因子组为λ，(λ+1)2.于是可得A的Jordan标准形机动目录上页下页返回结束例6.3求矩阵的Jordan标准形.解对的特征矩阵λE-A进行初等变换化为对角矩阵，机动目录上页下页返回结束A的初等因子组为λ，λ-1，(λ-1)2.于是得A的Jordan标准形10对于给定的方阵A，在不计各Jordan块排列次序的意义下，A的Jordan标准形是
