《图论有向图》PPT课件.ppt

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1、图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、有向图的概念与性质(二)、有向图的连通性有向图(三)、图的定向问题(四)、有向路与有向圈21、概念定义1一个有向图D是指一个三元组(V(D),E(D),фD)。其中，V(D)是非空的顶点集合，E(D)是不与V(D)相交的边集合，而фD是关联函数，它使D的每条边对应D的有序顶点对(不必相异)。如果e是D的一条边，而u与v是使得фD(u,v)=e的顶点，那么称e是由u连接到v，记为e=。同时，称u为e的弧尾(起点),v为e的弧头(终点)。(一)、有向图的概念与性质注：有向图可以简单地理解为“边有方向的图”。3例如：有向图Dv4v3v2v

2、1e2e1e4e3e6e5e7v3与v2分别是e1的起点与终点。定义2在一个有向图D中，具有相同起点和终点的边称为平行边。两点间平行边的条数称为该两点间的重数。例如，在上图中，e6与e7是平行边。4定义3在一个有向图D中，如果没有有向环和平行边，则称该图为简单有向图。定义4设D是有向图，去掉D中边的方向后得到的无向图G，称为D的基础图。又若G是无向图，给G的每条边加上方向后得到的有向图D称为G的一个定向图。e3非简单有向图Dv4v3v2v1e2e1e4e6e5e7简单有向图Dv4v3v2v1e2e1e4e6e55定义5设D是有向图，v是D中顶点。以v为始点的边的条数称为点v的出度，以v为端

3、点的一个自环算1度。点v的出度记为d+(v);以v为终点的边的条数称为点v的入度，以v为端点的一个自环算1度。点v的入度记为d-(v);点v的出度与入度之和称为点v的度，记为d(v)。有向图Dv4v3v2v1e2e1e4e6e5e76例1一个简单图有多少个定向图？答：因为每条边有2种定向方式，所以共有2m(G)种定向。例2求证：G存在一个定向图D，使得对，有证明：不失一般性，设G是连通图。G中奇度顶点个数必然为偶数个，将偶数个奇数度顶点配对，然后在每一对配对顶点间连一条边得到欧拉图G1。在G1中用Fluery算法求出G的一欧拉环游C,然后顺次地在C上标上方向，由此得到C的定向图C1。在C1

4、中，去掉添加的边后，得到G的定向图D.显然：7对，有2、性质定理1设D=(V,E)是有向图，则：证明：由出度与入度的定义立即可得上面等式。3、有向图的矩阵表示8E=｛e1,e2,…,em｝(1)称A(D)=(aij)n×n是D的邻接矩阵，其中aij是vi为始点，vj为终点的边的条数，1≦i≦n,1≦j≦n。定义6设D=(V,E)是有向图，其中V=｛v1,v2,…,vn｝(2)若D无环。称矩阵M=(mij)n×m是D的关联矩阵，其中9例1写出下面有向图D1的邻接阵和D2的关联阵。v4v3v2v1D1v4v3v2v1e1e4e3e2e5D2101、相关概念(二)、有向图的连通性(1)有向途径(

5、闭途径)、迹(闭迹)和路(圈)上面概念与无向图中相关概念类似。(2)有向图中顶点间的连通性定义7设D=(V,E)是有向图，u与v是D中两个顶点。1)若D中存在一条(u，v)路，则称u可达v,记为u→v。规定u→u。2)若D中存在一条(u，v)路或(v,u)路，则称u与v是单向连通的。113)若D中存在一条(u，v)路和一条(v,u)路，则称u与v是双向连通的或强连通的。D1D2D3定义8设D=(V,E)是有向图。1)若D的基础图是连通的，称D是弱连通图；2)若D的中任意两点是单向连通的，称D是单向连通图；3)若D的中任意两点是双向连通的，称D是强连通图；12在上面三图中，D1是强连通的，D

6、2是单向连通的，而D3仅为弱连通图。关于强连通图，我们有如下结论：定理1：有向图D=(V,E)是强连通的，当且仅当D中存在包含D中所有顶点的回路。证明：“必要性”设V(D)=｛v1,v2,…,vn｝。由于D是强连通图，所以，对任意两点vi与vj,都存在(vi,vj)路，同时也存在(vj,vi)路。所以存在如下闭途径：v1→v2→…→vn→v1。这是一条包含D的所有顶点的回路。13“充分性”不失一般性，设C=v1→v2→…→vn→v1是包含D的所有顶点的一条回路。对于D的任意两点vi与vj(i

7、的途径vj→vj+1→…vi-1→vi。所以D中任意两点是强连通的，即D是强连通图。例2说明下图D是强连通图。v1v5v4v2v3v6D解：v1v5v6v2v4v3v2v4v5v6v2v1是含D所有顶点的一条回路。14例3求下图D的强连通分支、单向连通分支。定义9设D`是有向图D=(V,E)的一个子图。如果D`是强连通的(单向连通的、弱连通的),且D中不存在真包含D`的子图是强连通的(单向连通的、弱连通的),则称D`是D