2019_2020学年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法课件新人教A版必修5.ppt

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1、3.2　一元二次不等式及其解法第1课时　一元二次不等式及其解法目标定位重点难点1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．掌握图象法解一元二次不等式的方法．3．培养数形结合、分类讨论的思想方法.重点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．难点：一元二次不等式的解法及应用.1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的解法{x

2、x＜x1或x＞x2}1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0

3、；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B2．不等式x2＋x－2≥0的解集是()A．[－2,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)【答案】D3．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)4．判断下列不等式中哪些是一元二次不等式．①x2＞0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④mx2－5y＜0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0

4、.【解析】①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合定义．④不是，当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它含有两个未知数x，y，不符合定义．⑤不一定是，当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义；当a≠0时，是．【例1】解下列不等式．(1)－x2＋5x－6＞0；(2)3x2＋5x－2＞0；(3)3x2＋5x－2≤0；(4)9x2－6x＋1＞0；(5)x2－4x＋5＞0.【解题探究】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．一元二次不等式的解法【解析】(1)不等式可化为x2－5x＋6＜0.方程x2－

5、5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x

6、2＜x＜3}．(5)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图④)．观察图象可得，不等式的解集为R.【方法规律】通过上面例子，可知当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋b

7、x＋c的图象简图；(3)由图象得出不等式的解集．不等式－x2＋3x－2≥0的解集为()A．(－∞，1]∪[2，＋∞)B．[1,2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)【答案】B【解析】不等式－x2＋3x－2≥0可化为x2－3x＋2≤0，(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，∴不等式的解集为[1,2]．故选B．【例2】已知一元二次方程ax2＋bx＋1＞0的解集为{x

8、－2＜x＜1}，求a，b的值．【解题探究】由于一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根结合二次函数的图象所得，所以可以知道－2和

9、1是方程ax2＋bx＋1＝0的两个根．一元二次不等式与一元二次方程的关系【方法规律】由一元二次不等式的解法不难知道，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系，这种关系体现了不同知识之间内在的联系．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0(a∈R)的解集为{x

10、－1＜x＜1}，则a的值是()A．－2B．－1C．0D．1【答案】D【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成

11、立，求m的取值范围．【解题探究】含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：一种是利用二次函数在区间上的最值来处理；另一种是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．一元二次不等式中的恒成立问题【方法规律】1.一般地，若f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立，求参数的取值范围问题，只要f(x)在x∈[a，b]上的最小值f(x)min≥0即可．同理，若f(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立，只要f(x)在x∈[a，b]上的最大值f(x)max≤0即可．2．求二次函数f(x)在区间[a，b]上的最值，

12、一般需要讨论对称轴与区间的三种关系，分别求解．忽视二次项系数为0的情况而致错【错因分析】错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题不全面导致错误．1．解一元二次不等式时，必须注意二次项的系数的符号，当a＜0时，可以利用不等式的性质化为正数，然后再求解．2．解不等式ax2＋bx＋c≥0与ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点．3．如果一元二次不等式可以因式分解为(x－x1)·(x－x2)＞0或(x－x1)(x－x2)