《概率论与数理统计》.ppt

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1、第5章数理统计初步5.2统计推断统计推断包括：参数估计和假设检验．5.2.1参数估计总体的分布函数形式已知或未知，估计该总体分布的未知参数或总体的某些数字特征的问题，称为参数估计问题．参数估计分：点估计和区间估计．一、参数的点估计1．点估计的概念设为总体分布中的未知参数，即待估参数，从总体中抽取一个样本，相应的一个样本观察值为．利用样本构造适当的统计量，用它的观察值来估计未知参数的方法称为点估计．称统计量为的估计量，称为的估计值．在不致混淆的情况下，统称估计量与估计值为估计，简记为．2．矩估计法——数字特征法矩估计法就是利用样本矩来估计对应的总体矩

2、．设总体的一个样本为，总体矩为，样本矩为则令　　　　　，为未知参数的个数．（1）一个未知参数解方程，便得到矩估计．例3设为来自总体的样本，求的矩估计．解，令，即，解得，所以的矩估计为．．（2）两个未知参数解方程组便可得到矩估计，其中．例4设总体的密度函数为．为来自总体的样本，求的矩估计．解令得解得的矩估计为，的矩估计为．例5已知某批灯泡寿命，今从中抽取4只进行寿命试验，测得数据如下：（单位：小时）1502，1453，1367，1650，试估计参数和．解由方程组可直接得出和的矩估计．的矩估计：（1502+1453+1367+1650）=1493（小时

3、），的矩估计：=．===10551.5（小时平方）．3．点估计的优良标准对于给定的总体未知参数，点估计的求法不近相同，那么就有必要给出评价同一参数不同的点估计量好坏的标准．（1）无偏性估计量是一个随机变量，对于不同的样本观察值得到的参数估计值也是不同的，但总希望这些值能在待估计的参数真值附近摆动，且这种摆动尽可能地小，这就是无偏性的概念．定义6设为未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计．定理4样本均值是总体均值的无偏估计；样本方差是总体方差的无偏估计．（2）有效性定义7设是的两个无偏估计量，若，即,则称较有效．例6设总体的数学期望和方差分别为和，为

4、来自总体的容量为的样本，问下面参数的三个无偏估计量中哪一个更有效？解容易验证皆为的无偏估计，分别求它们的方差==，同理有，，故　　　　，所以最为有效．二、参数的区间估计置信区间设总体分布中含有一个未知参数，若由样本确定的两个统计量及，对于给定的有，则称区间为的置信水平为的置信区间，称和为的置信限（分别称，为置信下限及置信上限），称为置信水平（或置信度）．1.单个正态总体参数的区间估计设总体，为来自的一个样本．（1）的区间估计1）当已知时，求的置信水平为的置信区间由，所以，而统计量由标准正态分布的特点（如图5.2.1），对于给定的，查附表得，使即由不

5、等式转化为等价形式　　，可得的置信区间．图5.2.1例7从长期生产实践中知道，某厂生产的滚珠，其直径服从正态分布，现从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1（单位：mm），试求滚珠的平均直径的置信水平为95%的置信区间．解，因为，所以，则，，即滚珠平均直径的置信水平为95%的置信区间为．也就是说，滚珠直径的均值落在mm与mm之间的机会约为95%．2）当未知时，求的置信水平为的置信区间因为未知，可用的估计量来代替，而用随机变量来代替1）中的统计量，这时不再服从，但是当时，可以证明的概率密度为．由

6、分布的特点（如图5.2.2）．其中可查分布表得到．．于是的置信区间为．图5.2.2例8今从某机器所生产的一批产品中抽取9件产品，分别秤得重量为（单位：公斤）：52.150.551.249.749.550.558.750.548.3试求产品平均重量的95%的置信区间．解因为未知，所以不能用统计量，而应用统计量，由于，，又由，及自由度，查分布表得因此，即　　　　表示产品平均重量在公斤与公斤之间的机会约为95%．（2）方差的区间估计设，当未知时，求的置信区间，用的无偏估计量求置信区间，可以证明随机变量的概率密度为且．对给定的，由分布的上侧分位数（如图5.

7、2.3）的定义，得即　　，从而得方差的置信区间为，（5.2.1）其中，可查分布表．图5.2.3因为，故（5.2.1）式可写作（5.2.2）（3）标准差的区间估计由（5.2.1）式，可得标准差的置信区间为由（5.2.2）式，又可得标准差的置信区间为例10对上例求产品重量的均方差的95%的置信区间．解因为，查分布表得，于是　　，，所以产品重量的均方差的95%的置信区间为．2．两个正态总体均值差和方差比的区间估计设总体，，与分别为来自总体与的两个独立样本．（1）两个正态总体均值差的区间估计1）总体方差，已知设，分别为两个样本的均值，因为，分别为的点估计，

8、故取为的点估计，且由此可知，所以对于给定的置信度，有即由此得到的置信度为的置信区间为（5.2.3）2）总体方差，未知①　当