线性代数教学教案_Lect6.doc

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1、第二章线性方程组l线性方程组理论三个基本问题：解的判别问题、求解问题、解的结构问题。§2.1向量的线性相关性一向量的定义及运算l向量的定义定义由n个数构成的n元有序数组称为n元向量，记为()，其中称为该向量的第i个分量。注行向量：（）列向量：，也可记为。20l向量相等定义设α=(a1,a2,…,as)，β=(b1,b2,…,bt)。若s=t且ai=bi(i=1,2,…,s)，则称向量α与β相等，记为α=β。l向量的基本运算定义(1)加法设α=（a1,a2,…,an），β=（b1,b2,…,bn）是两个n元向量，则称下列向量（a1+b1,a2+b2,…,

2、an+bn）为向量α与β的和，记为α+β；(2)数乘设α=（a1,a2,…,an）是n元向量，k是数，称下列向量（ka1,ka2,…,kan）为数k与向量α的数量乘积，记为kα。20例设α=（a1,a2,…,an）是任一n元向量，则0α=（0,0,…,0）(-1)α=（-a1,-a2,…,-an）我们称分量全为零的向量（0,0,…,0）为零向量，记为θ；称向量（-a1,-a2,…,-an）为向量α的负向量，记为–α。例向量的减法：。例在平面π上建立直角坐标系Oxy，设是π上任一条有向线段。把的起点平移到原点O，则其终点坐标(a1,a2)唯一确定。这样，

3、有向线段唯一对应一个2元向量(a1,a2)。设是π上另一条有向线段，按上述方法对应2元向量（b1,b2）。则按平行四边形法则，有向线段与的和+对应的2元向量恰为(a1+b1,a2+b2)。注向量的线性运算是几何运算的推广和延拓。性质（向量的线性运算规则）设α、β、γ20是任意三个n元向量，k、l是任意两个数，则有(1)α+β=β+α(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)α+θ=α（θ是n元零向量）(4)α+(–α)=θ(5)1α=α(6)(kl)α=k(lα)(7)(k+l)α=(kα+lα)(8)k(α+β)=kα+lβ此外，还有(9)若kα=θ

4、，则k=0或α=θ(10)向量方程α+x＝β有唯一解：x＝β-α二向量的线性相关性20l三个基本概念：线性组合、线性表出、线性相关与线性无关定义设是m个n元向量，k1,k2,…,km是任意m个数，称下列向量是向量组的一个线性组合。此时，也称向量β可由向量组线性表出。例一个向量的线性组合______。例向量组能否线性表出？例已知向量，问能否由线性表出？解设则有20。由此得。（存在使成立它们使成立，即可由线性表出线性方程组有解。）经验证，有解，故可由线性表出。▌结论①线性表出非齐次方程组有解②表示法唯一解唯一定义设是m个元向量。若存在m个不全为零的数，使，

5、则称向量组线性相关。不线性相关的向量组称为线性无关。20例设与是两个2元实向量，则，线性相关与共线。例设与是两个n元向量，则，线性相关与对应分量成比例。例一个向量线性相关。例证明向量组是否线性相关。解设则有（存在不全为零的使成立它们也使成立，即线性相关齐次线性方程组有非零解。）经验证，方程组有非零解，故线性相关。▌20线性无关不存在不全为零的数，使；对任意不全为零的数，均有；由必可导出。结论①线性相关齐次线性方程组有非零解；②线性无关齐次线性方程组没有非零解。例指出向量组的线性相关性。解令，则有20。因方程的个数<未知数的个数，故上述齐次线性方程组有非

6、零解。于是，线性相关。▌例已知向量组线性无关。令，问是否线性相关？解令，则有。因线性无关，故。又上述方程组没有非零解，故。由此得线性无关。▌20例在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关。注线性无关组的任一部分组都线性无关。例包含零向量的向量组线性相关。例m个n元向量（m>n）线性相关。例已知是三个4维向量，令证明：若线性无关，则也线性无关。证明：令，则有20（1）（2）由式(1)得，（3）已知线性无关，故由式(3)得。所以，线性无关。▌问题(1)由线性相关是否可得出也线性相关？(2)由的线性

7、相关性能对,的线性相关性做出那些判断？(3)上述讨论是否可在向量个数、向量维数等方面一般化？20定理向量组线性相关的充分必要条件是：至少存在一个可有其余向量线性表出。例设是n个n元向量，称之为n元基本向量组，则线性无关；对任一n元向量，均有线性相关，且可由线性表出。定理已知向量组线性无关，而向量组,线性相关，则可由线性表出且表示法唯一。证明,线性相关存在不全为零的数，使。若，则且不全为零。由此得线性相关，与假设矛盾，故。于是，20，即可由线性表出。设，则。因线性无关，故，即。所以，表示法唯一。▌例已知向量组线性相关，向量组线性无关。问能否由线性表出？证

8、明（法一）因为向量组线性无关，故其部分组也线性无关。由向量组20线性相关，所以可由线性表出。（