《离散数学群与环》PPT课件.ppt

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1、第十章群与环主要内容:群的定义与性质子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域1半群、独异点与群的定义半群、独异点、群的实例群中的术语群的基本性质10.1群的定义与性质2半群、独异点与群的定义定义10.1(1)设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.3实例例

2、1(1),,,,都是半群，+是普通加法.这些半群中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算.(4)为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法.(5)为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算.(6)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如

3、下：x,yR*,x◦y=y.4例2设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae实例特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素5有关群的术语定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作

4、G

5、.(2)只含单位元的群称为平凡群.(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.6有关群的术语实例

6、：和是无限群.是有限群，也是n阶群.Klein四元群是4阶群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.7定义10.3设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂.群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂.在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=68元素的阶定义10.4设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶，记作

7、a

8、=k，称a为k阶元.若不存在

9、这样的正整数k，则称a为无限阶元.例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元.在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.9群的性质：幂运算规则定理10.1设G为群，则G中的幂运算满足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn.10群的性质：方程存在惟一解定理10.2G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G

10、中有解且仅有惟一解.证a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面证明惟一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可证ba1是方程ya=b的惟一解.11群的性质：方程存在惟一解例3设群G=，其中为对称差.解下列群方程：{a}X=，Y{a,b}={b}解X={a}1={a}={a}，Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}12群的性质：消去律定理10.3G为

11、群，则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G有(1)若ab=ac，则b=c.(2)若ba=ca，则b=c.例4设G={a1,a2,…,an}是n阶群，令aiG={aiaj

12、j=1,2,…,n}证明aiG=G.证由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即

13、aiG

14、

15、G

16、=n矛盾.13群的性质：元素的阶证(1)充分性.由于r

17、k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.根据除法，存在整数m和i使得k

18、=mr+i,0≤i≤r1从而有e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai因为

19、a

20、=r，必有i=0.这就证明了r

21、k.定理10.4G为群，a∈G且

22、a

23、=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r

24、k(2)

25、a1

26、=

27、a

28、14群的性质：元素的阶证(