《空间中的垂直关系》PPT课件.ppt

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1、(认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题)7.5空间中的垂直关系1．定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．交点叫做垂足．直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．4．二面角的概念：平面内的一条直线把平面

2、分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为α－l－β；5．二面角的平面角一个平面垂直于二面角α－l－β的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB是α－l－β的平面角．两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在

3、一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线解析：若直线l⊥α，l∥α，或l⊂α，虽然在α内必有直线m，使m⊥l；若l是平面的斜线可找出其射影l′，则存在直线m⊥l′，即m⊥l.答案：C2．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB＝12，则A′B′等于()A．4B．6C．8D．9解析：连结A′B可知∠ABA′＝，则A′B＝ABcos＝6，连结A

4、B′可知∠BAB′＝，则BB′＝ABcos＝6，在Rt△BB′A′中，A′B′＝＝6.答案：B3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．解析：如图，∵PO⊂平面PAB，∴l⊥PO.∴PO就是P到直线l的距离．∵α⊥β，∴PAOB为矩形，4．平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)答案：①③

5、证线面垂直的方法：(1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．(2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．(3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面，则另一条也必垂直于这个平面．(4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面．(5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面．【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面正方形的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O⊥平面MAC.证明：证

6、法一：如图(1)，连结AB1、CB1，由AB1＝CB1，又O为AC的中点，∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1，可证，∴B1O⊥OM.根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC.证法二：如图(2)建立直角坐标系D—xyz，设DD1＝1则M、C、B1、O的坐标分别为(0,0，)、(0,1,0)、(1,1,1)、(，，0)．∴＝(0,1，－)，＝(－，－，－1)，＝－＋＝0，因此.同理可证：，∴B1O⊥平面MAC.变式1.在四面体A－BCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，试证：AD⊥BC.证明：证法一：如右图，过A点作AO⊥平面B

7、CD，垂足为O，连结BO、CO、DO.由AB⊥CD，AC⊥BD，根据三垂线定理的逆定理知：BO⊥CD，CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，∴DO⊥BC.根据三垂线定理知AD⊥BC.证法二：设根据已知条件①－②得a·(b－c)＝0，即AD⊥BC.点评：证法一非常典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用；而证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点.1.平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决．2．利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面

8、的垂线也是立体几何中最重要的辅助线之一．【例2】如右图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝